泰勒展开

Mr_Avalan · 2023-08-23 15:20:51 · 个人记录

泰勒展开可以在某个点附近，用多项式函数近似其他函数，因为多项式函数方便进行计算、求导和积分，而且一般情况下泰勒展开也足以满足精度需求。

考虑我们现在要在 x=0 时近似 f(x)=cos(x) ，大概是这样。
我们考虑用一个二次函数 y=a_1+a_2x+a_3x^2 来近似。
因为 x=0 所以显然 a_1=1 。
更进一步的，我们想让二次函数和原函数在 x=0 处的一次导数也相同，这样显然可以更加精确。
即 a_2+2a_3x=f'(x)=-sin(x) ，再带入 x=0 得到 a_2+2a_3*0=a_2=-sin(0)=0 。
同理，我们继续让他们的二次导也相同，也就是 2a_3=-cos(0)=-1 ，所以 a_3=-\frac{1}{2} 。
最后得到的二次函数就是 y=1-\frac{1}{2}x^2 。
而实际上，两个函数在 x=0 附近确实相差很小。

按照上面的过程，如果一直做下去我们的函数就会离 y=cos(x) 越来越近，由此也就得出了泰勒展开式。

函数的上标表示是几次导。