整环

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\color{red}\text{定义 1} 半群与交换半群

若代数系统(G,\cdot)中二元运算\cdot满足结合律，则称(G,\cdot)为半群。
特别地，若半群(G,\cdot)中的二元运算\cdot满足交换律，则称(G,\cdot)为交换半群。

\color{red}\text{定义 2} 半群的幺元素与幺半群

若半群(G,\cdot)中的元素e满足\forall x\in G,e\cdot x=x\cdot e=x，则称e为半群(G,\cdot)的幺元素。
若半群(G,\cdot)中存在幺元素，则称(G,\cdot)为幺半群。

\color{blue}\text{定理 1}

幺半群中仅有一个幺元素。

\text{Proof.}

设该幺半群为(G,\cdot)
假设有两个以上的幺元素，设e,e'为其中两个幺元素，e\ne e'。
则有e=e\cdot e'=e'与e\ne e'矛盾。
故定理得证。

\color{red}\text{定义 3} 逆元素与可逆元素

设幺半群(G,\cdot)的幺元素为e
对于元素x\in G，若存在y\in G满足x\cdot y=y\cdot x=e，则称y为x的逆元素，称x为可逆元素。

\color{blue}\text{定理 2}

可逆元素仅有一个逆元素

\text{Proof.}

设该幺半群为(G,\cdot)，该幺半群的幺元素为e，该可逆元素为a。
假设有两个以上的逆元素，设b,b'为其中两个逆元素，b\ne b'。
则有b=b\cdot(a\cdot b')=(b\cdot a)\cdot b'=b'与b\ne b'矛盾。
故定理得证。

\color{red}\text{定义 4} 群与交换群

若幺半群(G,\cdot)中的每个元素都是可逆元素，则称(G,\cdot)为群。
特别地，若群(G,\cdot)中的二元运算\cdot满足交换律，则称(G,\cdot)为交换群（或阿贝尔群）。

\color{red}\text{定义 5} 环与交换环

对于代数系统(G,+,\cdot)
若(G,+)是交换群，(G,\cdot)是半群，且二元运算\cdot关于二元运算+满足分配律，则称(G,+,\cdot)为环。
特别地，若二元运算\cdot满足交换律，则称(G,+,\cdot)为交换环。

\color{red}\text{定义 6} 环的零元素、幺元素、可逆元素

对于环(G,+,\cdot)
称交换群(G,+)的幺元素为环(G,+,\cdot)的零元素。
称半群(G,\cdot)的幺元素为环(G,+,\cdot)的幺元素。
称半群(G,\cdot)的可逆元素为环(G,+,\cdot)的可逆元素。

\color{blue}\text{定理 3}

设环(G,+,\cdot)的零元素为o，\forall x\in G,o\cdot x=x\cdot o=o

\text{Proof.} o\cdot x=(o+o)\cdot x=(o\cdot x)+(o\cdot x)

设y为o\cdot x在交换群(G,+)中的逆元素，则有

y+(o\cdot x)&=y+(o\cdot x)+(o\cdot x)\\ o&=o\cdot x \end{aligned} ### $\color{red}\text{定义 7}$ 相伴元素与相伴关系 设环$(G,+,\cdot)$的可逆元素为$\epsilon$。 对于元素$x,y\in G$，若有$x\cdot\epsilon=y$，则称$x,y$互为相伴元素，$x$与$y$相伴，记作$x\sim y$。 显然相伴关系是等价关系（即具有自反性、对称性、传递性）。 ### $\color{green}\text{命题 1}

设环(G,+,\cdot)的零元素为o。
若元素x,y\in G满足x,y\ne o，则x\cdot y\ne o

\color{green}\text{命题 2}

设环(G,+,\cdot)的零元素为o。
若元素x,y,z\in G满足x\ne o,x\cdot y=x\cdot z，则y=z。

\color{blue}\text{定理 4}

\color{green}\text{命题 1}与\color{green}\text{命题 2}等价

\text{Proof.}

考虑证明\color{green}\text{命题 1}成立则\color{green}\text{命题 2}成立，且\color{green}\text{命题 2}成立则\color{green}\text{命题 1}成立。
先假设\color{green}\text{命题 1}成立。
若元素x,y,z\in G满足x\ne o,x\cdot y=x\cdot z，设y'为y在交换群(G,+)中的逆元素，则有

(x\cdot y)+(x\cdot y')&=(x\cdot z)+(x\cdot y')\\ x\cdot(y+y')&=x\cdot(z+y')\\ o&=x\cdot(z+y') \end{aligned}

假设z+y'\ne o，则有x\cdot(z+y')\ne o，与o=x\cdot(z+y')矛盾。
故z+y'=o，则有z=y。
则\color{green}\text{命题 2}成立。
反之，假设\color{green}\text{命题 2}成立。
考虑使用反证法，假设\color{green}\text{命题 1}不成立。
则存在x,y\in G,x,y\ne o且x\cdot y=o，则有

x\cdot y&=x\cdot o\\ y&=o \end{aligned}

与y\ne o矛盾，故\color{green}\text{命题 1}成立。
故定理得证。

\color{red}\text{定义 7} 整环

若交换环(G,+,\cdot)中存在不是零元素的幺元素，且满足\color{green}\text{命题 1}（或\color{green}\text{命题 2}），则称(G,+,\cdot)为整环。

为方便书写，在此做以下约定。

\color{red}\text{定义 8} 整除

对于元素x,y\in G且x\ne o，若存在z\in G满足xz=y，则称x整除y，x是y的约数，y是x的倍，记作x|y。

\color{red}\text{定义 9} 显然约数与非显然约数

对于元素x\in G，显然\epsilon与x\epsilon是x的约数，则称其为x的显然约数，称x的其他约数为x的非显然约数。

\color{red}\text{定义 10} 不可约元素

对于元素x\in G且x\ne o,\epsilon，若x无非显然约数，则称x为不可约元素。

\color{red}\text{定义 11} 素元

对于元素x\in G且x\ne o,\epsilon，若满足对于任意元素y,z\in G且x|yz，必有x|y或x|z，则称x为素元。

\color{blue}\text{定理 5}

素元都是不可约元素

\text{Proof.}

假设素元x不是不可约元素，有非显然约数y。
设元素z\in G满足yz=x，则必有x|y或x|z。
若x|y：
设元素a\in G满足xa=y，则有

xaz&=x\\ az&=e \end{aligned}

所以a是可逆元素，y是x的显然约数。
与y是x的非显然约数矛盾，故x|y时，定理得证。
若x|z：
设元素a\in G满足xa=z，则有

yxa&=x\\ xya&=x\\ ya&=e \end{aligned}

所以y是可逆元素，y是x的显然约数。
与y是x的非显然约数矛盾，故x|z时，定理得证。
综上所述，定理得证。

\color{red}\text{定义 12} 公约数与最大公约数

对于元素x,y\in G，若z|x且z|y，则称z是x,y的公约数。
特别地，若公约数z是所有x,y的公约数的倍数，则称z是x,y的最大公约数。
显然，若最大公约数存在，则所有最大公约数互为相伴元素。

\color{red}\text{定义 13} GCD