IMOSL2019 A5

> 对于互异实数 $x_1,\dots,x_n$，证明 > $$ \sum_{1\leqslant i\leqslant n} \prod_{j\neq i} \frac{1-x_ix_j}{x_i-x_j} = \begin{cases} 0, & \text{if } n \text{ is even};\\ 1, & \text{if } n \text{ is odd}. \end{cases} $$ 设原式为 $f(x_1,\dots,x_n)$，考虑 Vandermonde 多项式 $\displaystyle V(x_1,\dots,x_n) = \prod_{i<j} (x_i-x_j)$。 由于每个和项的分母皆为 $V$ 的因式，可知 $V \cdot f$ 是多项式，又注意到 $f$ 是对称的，因此 $V\cdot f$ 是交错的。由交错多项式的性质可知，$f$ 是多项式。 接下来我们对每个 $x_i$ 考虑其度数，发现皆为 $0$，说明 $f$ 为常数。 接下来只需要带入一组数算出结果。考虑带入 $x_i = \omega^i$，其中 $\omega$ 为 $n$ 阶本原单位根。首先考虑乘积式 $\displaystyle \prod_{j\neq i} (1-\omega^{i+j})$，若存在 $j$ 使得 $i+j \equiv 0$，则乘积为 $0$。 具体来说，乘积是 $\frac{\prod_{1\le i\le n-1}(1- \omega^i)}{\omega^{i(n-1)}\prod_{1\le i\le n-1}(1-\omega^i)}$。 当 $n$ 为奇数时，仅有 $i\neq \frac{n+1}{2}$ 无法被直接消去，此时乘积为 $1$，因此 $f=1$。 当 $n$ 为偶数时，仅有 $i\neq 0,\frac n2$ 无法被直接消去，此时乘积为 $1$ 和 $\omega^{n/2}=-1$，因此求和为 $0$。