微积分学习笔记

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主要内容有： 极限， 导数（微分）， 积分， 级数。

1. 极限

1.1 定义

对于函数 f(x)， 如果当 x\rightarrow x_0 时 f(x) 无限接近于一个确定常数 a， 那么就说 a 是 f(x) 在 x\rightarrow x_0 时的极限。 记作 \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=a。

其中， “无限接近于 a” 可以表达成对于任意正数 \alpha， 都存在 \beta>0， 使得当 0<|x-x_0|<\beta 时， 都有 |f(x)-a|<\alpha 成立。

左极限：当函数 f(x) 自变量 x 从左侧趋近 x_0(x<x_0) 时（记作 x\rightarrow x_0^{-}）函数的值趋近于某个确定常数 a， 那么称 a 为 f(x) 当 x\rightarrow x_0 时的左极限， 记作 \lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)=a。

右极限：当函数 f(x) 自变量 x 从右侧趋近 x_0(x>x_0) 时（记作 x\rightarrow x_0^+）函数的值趋近于某个确定常数 a， 那么称 a 为 f(x) 当 x\rightarrow x_0 时的右极限， 记作 \lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)=a。

由上面的定义， 可以得到下面这个重要定理：

#### 1.2 无穷小与无穷大 定义： 当函数 $f(x)$ 在自变量的某种变化过程中极限为 $0$， 那么 $f(x)$ 在该变化过程中称为**无穷小**。 当函数 $f(x)$ 在自变量的某种变化过程中， 那么相应的函数值的绝对值 $|f(x)|$ 可以无限增大， 那么 $f(x)$ 在该变化过程中称为**无穷大**。 例子： $\lim_{x\rightarrow 0}x^2=0$， 所以 $y=x^2$ 当 $x\rightarrow 0$ 时为无穷小。 $\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{1}{x}=\infty$， 所以 $y=\dfrac{1}{x}$ 当 $x\rightarrow 0$ 时为无穷大。 无穷小与无穷大有以下性质： 1. 无穷小与有界函数的积是无穷小（推论： 常数与无穷小的积是无穷小）。 2. $\lim f(x)=a$ 的充要条件是 $f(x)=a+\alpha(x)$， 其中 $\lim\alpha(x)=0$。 3. 两个无穷大的乘积是无穷大。 4. 无穷大与有界函数之和为无穷大。 5. 若 $f(x)$ 为无穷大， 则 $\dfrac{1}{f(x)}$ 为无穷小。 6. 若 $f(x)$ 为无穷小， 且 $f(x)\neq 0$， 则 $\dfrac{1}{f(x)}$ 为无穷大。 #### 1.3 极限运算法则 ##### 1.3.1 四则运算 若 $\lim f(x)=a,\lim g(x)=b$， 那么： 1. $\lim [f(x)\pm g(x)]=\lim f(x)\pm \lim g(x)=a\pm b
  1. \lim [f(x)g(x)]=\lim f(x)\cdot\lim g(x)=ab
  2. \lim \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\lim f(x)}{ \lim g(x)}=\dfrac{a}{b}(b\neq 0)

推论：

  1. 若 c 为常数， 那么 \lim cf(x)=c\lim f(x)。
  2. 若 c 为任意实数， 那么 \lim f(x)^c=[\lim f(x)]^c。
1.3.2 复合函数的极限运算法则

如果 y=f(g(x)) 是函数 f(x),g(x) 的复合函数， 若 \lim_{x\rightarrow x_0}=u_0,\lim_{u\rightarrow u_0}=a， 且当 0<|x-x_0|<\alpha（\alpha 为某正数）时 g(x)\neq x_0， 那么 \lim_{x\rightarrow x_0}f(g(x))=a。

1.4 极限存在准则和重要极限

1.4.1 夹逼定理

若函数 f(x),g(x),h(x) 满足：

  1. 在 x_0 的某去心邻域上有 g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)
  2. \lim_{x\rightarrow x_0}g(x)=\lim_{x\rightarrow x_0}h(x)=a

那么 \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=a。

1.4.2 两个重要极限
  1. \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x}{\sin x}=1

证明：

因为 \dfrac{-x}{-\sin x}=\dfrac{x}{\sin x}， 所以只需要证明 \lim_{x\rightarrow 0^+}=1。

有不等式： \forall x\in(0,\dfrac{\pi}{2}), \sin x<x<\tan x。

由此可得： 1<\dfrac{x}{\sin x}<\cos x。

而 \lim_{x\rightarrow 0^+}\cos x=1。

由夹逼定理， 得： \lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{x}{\sin x}=1。

则 \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{x}{\sin x}=1。

  1. \lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1+\dfrac{1}{n} \right)^n=e

证明从略。

2. 导数（微分）

2.1 导数定义

若函数 y=f(x) 在点 x_0 的某邻域 U(x_0) 上有定义，给自变量 x 在 x_0 处的一个改变量 \Delta x(\Delta x>0\wedge x_0+\Delta x\in U(x_0))， 函数 f(x) 有相应的改变量 \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)。

若极限 \lim_{\Delta x\rightarrow 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} 存在， 那么我们称函数 y=f(x) 对 x 在 x_0 处可导， 并称此极限为函数 y=f(x) 对 x 对 x_0 的导数， 记作 f'(x_0) 或 y'|_{x=x_0} 或 \dfrac{\text{d} y}{\text{d}x}|_{x=x_0}。

导数的几何意义： 函数在一点的导数为函数在该点的切线斜率。

2.2 导函数

如果函数在开区间 I 的每一点对 x 可导， 则对于任意 x\in I 都有唯一的导数 f'(x) 与之对应（函数的必要条件）， 这样就得到了一个定义域在 I 上的函数， 称这个函数为函数 y=f(x) 在区间 I 上对 x 的导函数， 简称为导数， 记作 f'(x) 或 y' 或 \dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}。

2.3 基本初等函数的求导公式和求导法则

  1. 基本初等函数的求导公式
    • (x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha -1}
    • (\log_{a}^x)'=\dfrac{1}{x\ln a}(a>0\wedge a\neq 1)
    • (\ln x)'=\dfrac{1}{x}
    • (a^x)'=a_x\ln a
    • (e^x)'=e^x
    • (\sin x)'=\cos x
    • (\cos x)'=-\sin x
    • (\tan x)'=\sec^2x
    • (\cot x)'=-\csc^2x
    • (\sec x)'=\sec x\tan x
    • (\csc x)'=-\csc x\cot x
    • (\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}
    • (\arccos x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}
    • (\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2}
    • (\arctan x)'=-\dfrac{1}{1+x^2}
  2. 求导法则
    • (u\pm v)'=u'\pm v'
    • (uv)'=u'v+uv'
    • (\dfrac{u}{v})'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}(v\neq 0)
    • [f^{-1}(y)]'=\dfrac{1}{f'(x)}
    • f'(g(x))=f'(u)g'(x),u=g(x)