二次剩余

· · 题解

二次剩余

定义

对于任意正整数n，若对于一个质数p,存在x满足x^2\equiv n(mod \ p)则称n是模p的二次剩余

用途

求模意义下开根

解法

首先必须满足p是奇素数

引理一：

对于同余方程x^2\equiv n(mod \ p)，总共有\frac{p-1}{2}+1个解

引理二：

定义勒让德记号

\lgroup \frac{n}{p} \rgroup=\left\{\begin{aligned}1,n\ is\ the\ Quadradic\ residue\\-1, n\ is\ not\ the\ Quadradic\ residue\\0, n\equiv0(mod\ p)\end{aligned}\right.

则\lgroup \frac{n}{p} \rgroup\equiv n^{\frac{p-1}{2}}(mod\ p)

证明：

若n是p 的二次剩余 则令x^2\equiv n(mod \ p)则{x^2}^{\frac{p-1}{2}}=x^{p-1}\equiv1(mod\ p) 由费马小定理得x存在

若n不是p的二次剩余 则令x^2\equiv n(mod \ p)则{x^2}^{\frac{p-1}{2}}=x^{p-1}\equiv-1(mod\ p) 显然x不存在

若n\equiv0(mod\ p)则显然满足

定理：

设a满足 \omega=a^2-n不是p的二次剩余 即\lgroup \frac{\omega}{p} \rgroup=-1 即x^2\equiv \omega(mod \ p)无解，则x=(a+\sqrt\omega)^{\frac{p+1}{2}}是x^2\equiv n(mod \ p)的解

注意 这里的a+\sqrt\omega为数域扩张 类似于模意义下的虚数 要重定义运算法则

证明 ：

(a+\sqrt{\omega})^p$在模$p$意义下由二项式展开和卢卡斯定理得$(a+\sqrt{\omega})^p\equiv a^p+{\sqrt{\omega}}^p(mod\ p)

由引理二可知{\omega}^{\frac{p-1}{2}}\equiv\sqrt{\omega}^{p-1}\equiv-1(mod\ p)

\Rightarrow$ ${\sqrt{\omega}}^p\equiv-\sqrt{\omega}(mod\ p)

由费马小定理可知 a^p\equiv a(mod\ p)

所以 x^2\equiv a^{p+1}+\sqrt{\omega}^{p+1}

\equiv (a+\sqrt{\omega})^p(a+\sqrt{\omega}) \equiv (a-\sqrt{\omega})(a+\sqrt{\omega}) \equiv a^2-\omega(mod\ p)

所以 x=(a+\sqrt\omega)^{\frac{p+1}{2}}是x^2\equiv n(mod \ p)的解

因此 由引理一 我们每次在p的范围内随机一个a就可以找到答案

P5491 【模板】二次剩余

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll w;
struct num{
    ll x,y;
};

num mul(num a,num b,ll p)
{
    num ans={0,0};
    ans.x=((a.x*b.x%p+a.y*b.y%p*w%p)%p+p)%p;
    ans.y=((a.x*b.y%p+a.y*b.x%p)%p+p)%p;
    return ans;
}

ll powwR(ll a,ll b,ll p){
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1)ans=1ll*ans%p*a%p;
        a=a%p*a%p;
        b>>=1;
    }
    return ans%p;
}
ll powwi(num a,ll b,ll p){
    num ans={1,0};
    while(b){
        if(b&1)ans=mul(ans,a,p);
        a=mul(a,a,p);
        b>>=1;
    }
    return ans.x%p;
}

ll solve(ll n,ll p)
{
    n%=p;
    if(p==2)return n;
    if(powwR(n,(p-1)/2,p)==p-1)return -1;//不存在
    ll a;
    while(1)
    {
        a=rand()%p;
        w=((a*a%p-n)%p+p)%p;
        if(powwR(w,(p-1)/2,p)==p-1)break;
    }
    num x={a,1};
    return powwi(x,(p+1)/2,p);
}

int main()
{
    srand(time(0));
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        ll n,p;
        scanf("%lld%lld",&n,&p);
        if(!n){
            printf("0\n");continue;
        }
        ll ans1=solve(n,p),ans2;
        if(ans1==-1)printf("Hola!\n");
        else
        {
            ans2=p-ans1;
            if(ans1>ans2)swap(ans1,ans2);
            if(ans1==ans2)printf("%lld\n",ans1);
            else printf("%lld %lld\n",ans1,ans2);
        }
    }
}