浅谈数学之特殊角科技
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个人记录
0.前言
这个方法是数学老师讲的。笔者所写是为了解释这个方法的本质。
马上要月考了，写文章 rp++
1. 推导
1.1 引入
在初二数学中，有时会用到直角三角形中锐角与三边比的关系。但是三角函数还没有引入，于是我们需要找到替代方法。
下面将直角三角形中较小的锐角，记作 \angle A；将直角三角形中较大的锐角，记作 \angle B。直角记作 \angle C。
考虑一个 $3: 4: 5$ 的直角三角形：
测量 $\angle A$ 的度数：
注意到，$\angle A \approx 36.9 \degree$。
**我们规定**在 $3: 4 : 5$ 的直角三角形中，$\angle A = 37 \degree$。
## 1.2 推导其他角度
前置知识（只讨论锐角三角函数）：
$$
\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta
$$
$$
\cos \dfrac{\alpha}{2} = \sqrt{\dfrac{1+ \cos \alpha}{2}}
$$
在上面的规定中：
$$
\cos {37 \degree} = \dfrac{4}{5}, \sin {37 \degree} = \dfrac{3}{5}, \cos {53 \degree} = \dfrac{
3}{5}, \sin {53 \degree} = \dfrac{4}{5}
$$
### 1.2.1 推导 $16 \degree
\cos {16 \degree}
=\cos (53 \degree-37 \degree)
=\cos {53 \degree} \cos {37 \degree} + \sin {37 \degree}\sin {53 \degree}
=\dfrac{4}{5} \times \dfrac{3}{5} + \dfrac{3}{5} \times \dfrac{4}{5}
=\dfrac{24}{25}
所以，可以得到结论 1：
在 7: 24 : 25 的直角三角形中，\angle A = 16 \degree。
1.2.2 推导 18.5 \degree
\cos {18.5\degree}
=\cos (\dfrac{37 \degree}{2})
=\sqrt{\dfrac{1+ \cos {37 \degree}}{2}}
=\sqrt{\dfrac{1+ \dfrac{4}{5}}{2}}
=\sqrt{\dfrac{9}{10}}
=\dfrac{3}{\sqrt{10}}
=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}
所以，可以得到结论 2：
在 1: 3 : \sqrt{10} 的直角三角形中，\angle A = 18.5 \degree。
1.2.3 推导 26.5 \degree
类似地，可以推导 26.5 \degree：
\cos {26.5\degree}
=\cos (\dfrac{53 \degree}{2})
=\sqrt{\dfrac{1+ \cos {53 \degree}}{2}}
=\sqrt{\dfrac{1+ \dfrac{3}{5}}{2}}
=\sqrt{\dfrac{4}{5}}
=\dfrac{2}{\sqrt{5}}
=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}
所以，可以得到结论 3：
在 1: 2 : \sqrt{5} 的直角三角形中，\angle A = 26.5 \degree。
2. 结论
可以列一张表：
| \angle A |
三边比 |
| 16 \degree |
7:24:25 |
| 18.5\degree |
1: 3 : \sqrt{10} |
| 26.5\degree |
1: 2 : \sqrt{5} |
| 37\degree |
3:4:5 |
2. 例题
2.1 折叠问题
这是一道折叠板子题。
如图所示，\angle A=90 \degree，CA=3，BA=4。在线段 BC 上有一动点 D，折叠 \triangle CDA 到 \triangle C'DA，使点 C' 刚好落在线段 AB 上。求 AD 的长度。
解：在 Rt\triangle ABC 中，\angle A=90 \degree，
由勾股定理得 BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=5。
由折叠知，\angle CAD=\angle C'AD=45 \degree, CD=CD'。
\because \angle CAD=\angle C'AD
即 $\dfrac{CD}{BD}=\dfrac{4}{3}
设 CD=x，则 BD=BC-CD=5-x。
有 \dfrac{x}{5-x}=\dfrac{4}{3}
解得 x=\dfrac{20}{7}，经检验是原方程的解，所以 CD=\dfrac{20}{7}。
过点 D 作 DE \bot AC 于点 E。
\because AC=3, AB=4, \angle CAB=90 \degree
\therefore \angle ACB=53 \degree
在 Rt \triangle CED 中，\angle ECD=53 \degree, \angle CED=90 \degree
\therefore \dfrac{ED}{CD}=\dfrac{4}{5}$，即 $ED=\dfrac{16}{7}
又 \because \angle DEA=90 \degree, \angle DAE=45 \degree
\therefore AE=DE=\dfrac{16}{7}
\therefore AD=\dfrac{16 \sqrt{2}}{7}
2.2 两线一圆问题
这是一道周练题。
在平面直角坐标系中，点 A(0, 6)，B(-3, 0)，C(-2, 2)。在坐标轴上存在一点 G，使 \triangle ACG 是以点 C 为直角顶点的直角三角形。求点 G 的坐标。
易知 A, B, C 三点共线，且表达式为 y=2x+6。
易知 AC=2\sqrt{5}, BC=\sqrt{5}。
在 Rt \triangle ABO 中，AO=6, BO=3, \angle O=90 \degree
\therefore \angle BAO=26.5 \degree
作 l_1 \bot AB 于点 C。l_1 交 y 轴于点 G_1，交 x 轴于点 G_2。
在 Rt \triangle ABO 中，\angle C=90 \degree, \angle CAG_1=26.5 \degree
所以 $G_1(0,1)$。
易证 $\angle CG_2B=26.5 \degree$。
同理 $BG_2=5$，所以 $G_2(2, 0)$。
综上所述，$G(0,1)$ 或 $G(2,0)$。