秩不等式

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分块矩阵初等变换

对于分块矩阵 A = \begin{pmatrix} A_{11} &A_{12} &\cdots &A_{1m} \\ A_{21} &A_{22} &\cdots &A_{2m} \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ A_{n1} &A_{n2} &\cdots &A_{nm}\end{pmatrix}，定义广义初等变换：

性质：初等变换后，分块矩阵的秩不变。

秩不等式

定理一：r(A+B) \le r(A) + r(B)

证明：令 C = A+B。\forall k，对于 C 的所有 k 阶子式，将其展开为 2^k 个矩阵的行列式和。若 k > r(A) + r(B)，则所有展开得到的矩阵中，来源于 A 的行向量组和来源于 B 的行向量组，至少一者线性相关，其行列式为 0，因此 C 的非零子式最高阶数 \le r(A) + r(B)。

推论：对于实数 \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_k 及矩阵 M_1,M_2,\cdots,M_k，有 r(\sum_{i=1}^k \beta_i M_i) \le \sum_{i=1}^k r(M_i)。

定理二：r(AB) \le \min\{r(A), r(B)\}

证明：考虑分块矩阵 M_1 = (A, 0)，施以初等变换得到 M_2 = (A, AB)。由于 r(M_2) = r(M_1) = r(A)，且 r(M_2) \ge r(AB)，从而 r(AB) \le r(A)。由于 r(B^TA^T) \le r(B^T)，同时 r(AB) = r((AB)^T) = r(B^TA^T)，且 r(B) = r(B^T)，从而 r(AB) \le r(B)。综上所述，有 r(AB) \le \min\{r(A),r(B)\}。

定理三：r(ABC) \ge r(AB) + r(BC) - r(B)

证明：对于分块矩阵 M_1 = \begin{pmatrix} ABC &0 \\ 0 &B \end{pmatrix}，施以初等变换得到 \begin{pmatrix} ABC &AB \\ 0 &B \end{pmatrix}，再施以初等变换得到 M_2 = \begin{pmatrix} 0 &AB \\ -BC &B \end{pmatrix}。可以发现 r(M_2) \ge r(AB) + r(BC)，再与 r(M_1) = r(M_2)= r(ABC) + r(B) 联立，即 r(ABC) + r(B) \ge r(AB) + r(BC)。

推论：对于矩阵 A_{n \times m}, B_{m \times k}，有 r(A) + r(B) - m \le r(AB) \le \min\{r(A),r(B)\}。