题解-P3810

xfrvq · 2021-06-13 15:17:12 · 题解

P3810 【模板】三维偏序（陌上花开）

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前置算法

树状数组求逆序对
归并排序求逆序对

解题之前，让我们来看一看弱化版本 \to 二维偏序

题意

给定两个长度为数组 a_1,a_2,\dots,a_n，b_1,b_2,\dots,b_n 求对于每一个 i，a_j\le a_i 且 b_j\le b_i 的 j 有多少个。

解法1

考虑用结构体把数组存起来，对 a 进行排序，再用一个值域树状数组维护 b 值即可。

还没完。由于可能出现 a_i=a_j 且 b_i=b_j 的情况，所以需要去重。

提到去重，就要在结构体里面多加一个 x 。 x_i 表示与 a_j=a_i,b_j=b_i 的 j 的个数，x_i 初始为 1

~~去重毒瘤的要死~~

解法2

还是用结构体存，对 a 进行排序+去重，后面考虑用归并排序来求

回想一下归并排序求逆序对，我们求的是 a_i 作为逆序对 (j,i) 的 j 的总个数。

在这里，a 已经按大小排好了，所以我们只考虑对 b 值求逆序对就行了。

深刻注意解法2

三维偏序

进入正题

第一步

和二维偏序一样，先按 a 值排好序，去重

第二步

为了简化题目，先考虑简易版本不存在 a_i=a_j 且 b_i=b_j 且 c_i=c_j 的情况，标准版本放在第三步。

进入到今天的正题： CDQ 讲解部分。

CDQ 分治，顾名思义，是一种分治。而分治，就需要把 [l,r] 分为 [l,mid] 和 [mid+1,r] 。而对于我们要寻找的一个符合 a_j\le a_i,b_j\le b_i,c_j\le c_i 的点对 (i,j) 必须符合以下三种情况之一：

按分治三部曲走，接下来就是合并左右区间并统计答案了了，这里按归并排序求逆序对的思路来。

由于 a,b 值都被我们处理好了，接下来就是毒瘤的 c 值，用树状数组维护。

在合并中，我们分两种情况：

此时的最小值在左，那么我们让树状数组的左边那个数的 c 值位置加一
此时的最小值在右，那么我们让答案加上树状数组从 1 到右边数的 c 值位置的和

如果搞不懂为什么左是加，右是查，建议重新看一看归并排序求逆序对。

注意：每一次使用完后树状数组要清空。如果单纯 memset，会超时（因为是 O(n) ），清空应该对于每一个被存放在树状数组里的 c_i ，其在树状数组里面的值 -1

int tmp[maxn]; // 临时存放合并好的值的数组
void CDQ(int l,int r){
    if(l == r) return;　
    int mid = l + r >> 1,p = l,q = mid + 1,len = 0;
    CDQ(l,mid),CDQ(mid + 1,r); // 递归处理
    while(p <= mid && q <= r){ // 合并子区间
        if(a[p].b <= a[q].b) bit.update(a[p].c,1),tmp[++len] = a[p++]; // 选左边，此时更新树状数组
        else a[q].ans += bit.query(a[q].c),tmp[++len] = a[q++]; // 选右边，此时答案要加上值域树状数组的查询 
    }
    while(p <= mid) bit.update(a[p].c,1),tmp[++len] = a[p++]; // 归并左边剩下部分
    while(q <= r) a[q].ans += bit.query(a[q].c),tmp[++len] = a[q++]; // 归并右边剩下部分
    for(int i = l;i <= mid;++i) bit.update(a[i].c,-1); // 清空
    for(int i = 1;i <= len;++i) a[l + i - 1] = tmp[i]; // 把临时数组里的值拷贝到原数组
}

第三步

由于第二步只能处理不存在相同的情况，接下来讲解如果存在 a_i=a_j,b_i=b_j,c_i=c_j 的 (i,j) 该怎么处理。

注意刚才我们树状数组是这样更新的：bit.update(a[p].c,1)

这里的 1 实际上就是 a_s=a_p,b_s=b_p,c_s=c_p 的 s 的个数，记为 x ，x_i 我们在去重时求出。

因此代码如下：

int tmp[maxn];　
void CDQ(int l,int r){
    if(l == r) return;
    int mid = l + r >> 1,p = l,q = mid + 1,len = 0;
    CDQ(l,mid),CDQ(mid + 1,r);
    while(p <= mid && q <= r){
        if(a[p].b <= a[q].b) bit.update(a[p].c,a[p].x),tmp[++len] = a[p++];
        else a[q].ans += bit.query(a[q].c),tmp[++len] = a[q++]; 
    }
    while(p <= mid) bit.update(a[p].c,a[p].x),tmp[++len] = a[p++];
    while(q <= r) a[q].ans += bit.query(a[q].c),tmp[++len] = a[q++];
    for(int i = l;i <= mid;++i) bit.update(a[i].c,-a[i].x);
    for(int i = 1;i <= len;++i) a[l + i - 1] = tmp[i];
}

第四步

这时 CDQ 分治已经完成了，我们现在需要统计答案

按照刚才的代码，a[i].ans 表示 a_j\le a_i,b_j\le b_i,c_j\le c_i 但不包括 a_j=a_i,b_j=b_i,c_j=c_i 的 j 的个数，而 a[i].x 正好表示了 a_j=a_i,b_j=b_i,c_j=c_i 的 j 的个数。于是 a[i].ans + a[i].x 就是去重后第 i 个点的答案。

for(int i = 1;i <= cnt;++i) res[a[i].ans + a[i].x - 1] += a[i].x; // 注意是 + a[i].x，因为还有与 i 值相同所有 j，其总个数是 a[i].x
for(int i = 0;i < n;++i) printf("%d\n",res[i]);

\color{#52C41A}\texttt{AC CODE}

#include<stdio.h>　　
#include<algorithm>
const int maxn = 114514;
int n,k;
struct BIT{
    int t[maxn << 1];
    int lowbit(int i){return i & -i;}
    void update(int i,int x){for(;i <= k;i += lowbit(i)) t[i] += x;} 
    int query(int i){int ans = 0;for(;i;i -= lowbit(i)) ans += t[i];return ans;}
} bit; // 树状数组
struct number{
    int a,b,c,ans,x;
    bool operator<(const number& y) const{return a != y.a ? a < y.a : b != y.b ? b < y.b : c < y.c;}
} a[maxn],tmp[maxn]; // 数的结构体
int res[maxn];
void CDQ(int l,int r){
    if(l == r) return;
    int mid = l + r >> 1,p = l,q = mid + 1,len = 0;
    CDQ(l,mid),CDQ(mid + 1,r);
    while(p <= mid && q <= r){
        if(a[p].b <= a[q].b) bit.update(a[p].c,a[p].x),tmp[++len] = a[p++];
        else a[q].ans += bit.query(a[q].c),tmp[++len] = a[q++]; 
    }
    while(p <= mid) bit.update(a[p].c,a[p].x),tmp[++len] = a[p++];
    while(q <= r) a[q].ans += bit.query(a[q].c),tmp[++len] = a[q++];
    for(int i = l;i <= mid;++i) bit.update(a[i].c,-a[i].x);
    for(int i = 1;i <= len;++i) a[l + i - 1] = tmp[i];
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i = 1;i <= n;++i) scanf("%d%d%d",&a[i].a,&a[i].b,&a[i].c),a[i].x = 1,a[i].ans = 0;
    std::sort(a + 1,a + n + 1); // 排序
    int cnt = 1;
    for(int i = 2;i <= n;++i)
        if(a[i].a == a[cnt].a && a[i].b == a[cnt].b && a[i].c == a[cnt].c) ++a[cnt].x; // 如果遇到与 i 一样的，x 值就要自加一
        else a[++cnt] = a[i];
    CDQ(1,cnt); // 注意不是 CDQ(1,n)
    for(int i = 1;i <= cnt;++i) res[a[i].ans + a[i].x - 1] += a[i].x;
    for(int i = 0;i < n;++i) printf("%d\n",res[i]);
    return 0;
}