Hope教你如何简单问题复杂化

Hope888 · 2025-01-10 23:37:39 · 生活·游记

今天刷营销号看到的唐题，直接小奥周长和面积关系秒了，感觉不好玩，就有了神奇做法

求 \max{\left(\sqrt{3x}+\sqrt{1-3x}\right)}

\frac{d}{dx}\left(\sqrt{3x}+\sqrt{1-3x}\right)=\frac{d}{dx}((3x)^{\frac{1}{2}})+\frac{d}{dx}(1-3x)^\frac{1}{2}

=\frac{3}{2\sqrt{3x}}+\frac{-3}{2\sqrt{1-3x}}

Since：原式为 \frac{1}{2} 次函数

\frac{3}{2\sqrt{3x}}+\frac{-3}{2\sqrt{1-3x}}<0

\frac{1}{\sqrt{3x}}<\frac{1}{\sqrt{1-3x}}

3x>1-3x

x>\frac{1}{6}

So:原式\ (-\infin,\frac{1}{6})\ 时单调递增，在\ (\frac{1}{6},\infin)\ 时单调递减

So:原式在\ x=\frac{1}{6}\ 时取到最大值，\max{y}=\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}=2\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}

答：原式最大值为 \sqrt{2}.