数列以及无穷级数Pt.1

· · 个人记录

不想纸上做笔记，直接丢这里了。

数列，可以看作一个值域为 \mathbb N 的函数。a_n = f(n)。

显然此时就可以定义无穷数列的极限为该函数趋向正无穷的极限。收敛和发散的定义显然。

容易证明，数列所对应的函数的极限就是这个数列的极限。

并且，无穷数列的极限只与其后缀有关。你可以抛弃开头的任意多个有限元素再来讨论。

数列的极限依然保持着函数极限的各种性质。并且依然能用夹逼定理。

如果 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_n=L，则在有定义的情况下，\lim \limits_{n \rightarrow \infty} f(a_n)=L。

补充两个常见极限：\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \dfrac{x^n}{n!}=0，\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \left( 1+\dfrac{x}{n}\right )^n = \mathrm e ^ x。

两个式子对于任何 x 都成立。

单调有界定理：每个单调且有界的数列收敛。

有关 \mathrm{Picard} 方法的内容此处略去，因为我觉得这算动力系统的基本内容。无穷迭代这个问题太不初等了，不适合我这种智障。

关于数列的部分这里讲完了，接下来是无穷级数。

题外话：有些看起来显然的东西其实是定义。比如定积分表示有向面积这件事，它其实是个定义。再比如长方形的面积等于长乘以宽，这也是个定义。

这样子定义的原因不外乎：性质很好，用起来很方便；十分符合人类的直观，容易理解；在理论和实践中频繁出现；能与其他的数学工具兼容。

首先，级数是一个和式，也就是一个数列中某些项的和。通常我们使用 \sum 来简化书写。

对于无穷数列 \{ a_n \}，我们通常用 \sum a_n 或 \sum \limits_{n=0 \ \mathrm{or}\ 1}^\infty a_n 表示其所有项的和。这是一个无穷级数。

该无穷级数的值被 定义 为 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sum \limits_{i=1}^n a_i。

显然，我们也可以得出级数收敛和发散的定义。

一个简单的无穷级数的例子是几何级数：\sum \limits _{i=0}^\infty ar^i\ (a \neq0)。显然 |r|<1 时收敛，反之则发散。

容易发现，级数的值满足线性性。收敛级数的性质非常优秀，使得我产生了研究它组成的向量空间的欲望。

对于发散级数，它的非零倍都发散。发散级数和收敛级数的和或者差都发散。

写麻了，下会写一些判定是否收敛的方法。