将军饮马学习笔记
王君诺
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个人记录
前言
当学习到轴对称一章的时候，我们接触到一类非常神奇的最值问题——将军饮马问题，其中轴对称做的转换作用让我惊奇不已。
引入
有一位将军，他每天从军营 A 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的 B 地开会，求一条路线使得路程最短。
我们考虑对这个问题进行转化：在“河流”上寻找到一个点 C，使得 AC + BC 最短。这样，我们就得到了将军饮马问题的最初形式。
解决
我们考虑做出 A 点 关于 直线l 的对称点 A'，连接 B 和 A'，这条线段与 l 的交点即为所求。
我们考虑如何证明这个作法，我们在 l 上任取任何一个点 C'，连接 BC'、AC' 和 A'C'。因为 A 和 A' 关于 l 对称，所以 AC'=A'C'，所以 AC' + BC'=A'C'+ BC'。
因为两点之间线段最短，所以 A'B 就是 A'C'+ BC' 的最小值，所以 C 点就位于交点处。
设 B 与 l 的距离为 b，A 与 l 的距离为 a，A 和 B 对 l做垂线的交点的距离为 c，由勾股定理可知：{(AC + BC)}_{min}=A'B=\sqrt{(a+b)^2+c^2}
推广
一
现在考虑在 l 异侧的两点 A、B，求作 l 上的点 C,使得 |AC - BC| 最长，如图。
做点 B 关于 l 的对称点 B'，连接 AB' 并延长，与直线 l 的交点即为所求，此时 |AC - BC|=AB'。
考虑在 l 上任选一点 C'，因为 B' 和 B 关于 l 对称，所以 BC'=B'C'，所以 A、B' 和 C' 形成了一个三角形，三角形两边之差小于第三边，所以 |AC - BC|≤AB'，三点共线时取等。
这样就证明了这个作法。
二
我们考虑将最初的问题代数化。首先将其放入平面直角坐标系，为 A 和 B 赋予坐标，不妨令 A(-3,16)、B(10,17)，我们将 l 放在直线 y=0 上。
这个问题就变成了，对于函数 f(x)=\sqrt{(x+3)^2+16^2}+\sqrt{(x-10)^2+17^2}，求它的最值。
根据我们使用轴对称和几何推出来的结论，这个函数在 x=\frac{109}{33} 时取得最小值，f(\frac{109}{33})=\sqrt{1258}。（不要问为啥是这个数）
这种方法给予了我们解决形如 f(x)=\sqrt{……}+\sqrt{……} 的函数的最值问题的思路。
应用
例题：如图，在 ▲ABC 中，AB=AC=10，BC=12，AD⊥BC 与点 D，点 E，F 分别是线段 AB、AD 上的动点，且 BE=AF，则 BF+CE 的最小值为？（0.5Π表示垂直）
让我们先来用初中几何方法来解决它，过点 B 作 BC 的垂线 BJ，使得 BJ=AB=10。
我们可以得到，AB=BJ，∠ABJ=∠BAF，AF=BE，所以 ▲JBE ≌ ▲BAF，所以 BF=EJ，即 BF+CE=EJ+CE，在 CJ 之间两点之间线段最短，所以 (EJ+CE)_{min}=CJ=\sqrt{12^2+10^2}=2\sqrt{61}。
这个方法看似简便，实际有一定的思维难度。
我们考虑更通用的方法，我们设 |\overrightarrow{BE}|=|\overrightarrow{AF}|=l。
依照题意，我们可以得到：|\overrightarrow{BF}|+|\overrightarrow{CE}|=\sqrt{( \overrightarrow{FA} + \overrightarrow{AB} )^2}+\sqrt{( \overrightarrow{EB} + \overrightarrow{BC} )^2}=\sqrt{100+2\cdot \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{FA}+l^2}+\sqrt{144+2\cdot \overrightarrow{EB} \cdot \overrightarrow{BC}+l^2}=\sqrt{l^2-16l+100}+\sqrt{l^2-\frac{72}{5}l+144}。
经过进一步配方可以得到 |\overrightarrow{BF}|+|\overrightarrow{CE}|=\sqrt{(l-8)^2+6^2}+\sqrt{(l-\frac{36}{5})^2+(\frac{48}{5})^2}
由上面的结论，可以推出：(|\overrightarrow{BF}|+|\overrightarrow{CE}|)_{min}=2\sqrt{61}
总结
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我们要善于利用轴对称将图形进行变换，进而使用一些结论。
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将军饮马问题所在代数上的意义，有着长远的应用。
完结撒花
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