Splay学习笔记

# 前言 伸展树（英语：Splay Tree）是一种能够**自我平衡**的二叉查找树，它能在均摊O(log n)的时间内完成基于伸展（Splay）操作的插入、查找、修改和删除操作。 # 定义 ## 节点 `val`：节点node的值 `par`：节点node的父节点 `ch[2]`：节点node的左子节点与右子节点 `siz`：以节点node为根节点的子树的节点总数 `cnt`：数值与节点node相同的节点的数量（都储存在节点node中） 代码： ```cpp int ch[MAXN][2], par[MAXN], val[MAXN], siz[MAXN], cnt[MAXN]; ``` ## 树 root：根节点 cnt：总结点数 ```cpp int tot, rt; ``` # 操作 ## 基本操作 ### pushup pushup()函数：**更新**节点p的size值 ```cpp void pushup(int p) { siz[p] = siz[ch[p][0]] + siz[ch[p][1]] + cnt[p]; } ``` --- ### check check()函数：询问节点p是其父节点的左子节点还是右子节点 ```cpp int chk(int p) { return ch[par[p]][0] == p ? 0 : 1; //0代表左子节点，1代表右子节点 } ``` --- ## 旋转 ### rotate 旋转是平衡树最主要的操作，其本质在于，每次进行旋转时，左右子树当中之一高度 -1，另外一棵高度 +1，以达到平衡的目的。 左旋： 第一次连边，节点x的子节点成为x的父节点的右子节点 第二次连边，节点x成为节点x的父节点的父节点的子节点，方向与x的父节点相同 第三次连边，节点x的父节点成为节点x的左子节点  右旋： 第一次连边，节点x的子节点成为x的父节点的左子节点 第二次连边，节点x成为节点x的父节点的父节点的子节点，方向与x的父节点相同 第三次连边，节点x的父节点成为节点x的右子节点  旋转操作只与标为红，蓝，绿的三个部分有关。 ```cpp void rotate(int x) { int y = par[x], z = par[y], d = chk(x), w = ch[x][d ^ 1]; //w判断应该左旋还是右旋 ch[y][d] = w; par[w] = y; //第一次连边，节点x的子节点连接到x的父节点，方向与节点x相同 ch[z][chk(y)] = x; par[x] = z; //第二次连边，节点x连接到节点x的父节点的父节点，方向与x的父节点相同 ch[x][d ^ 1] = y; par[y] = x; //第三次连边，节点x的父节点连接到节点x，方向与节点x原先的方向相反 pushup(y); //更新子树 pushup(x); //更新子树 } ``` ## 伸展 ### splay Splay操作：将节点x旋转到节点dist的子节点。通常是将该节点旋转到根节点，在这种情况下，应当将root置为x 最朴素的想法：只要父节点不是dist就一直旋转该节点，但这样很容易被某些机（wu）智（liang）出题人卡。 ```cpp void splay(int x, int goal = 0) { while(par[x] != goal) { rotate(x); } if(goal == 0) { rt = x; } } ``` 所以，在实际操作中，通常会预判节点x的父节点的方向，若方向一致则旋转其父节点，减少被卡的可能性。~~多么妖娆~~ ```cpp void splay(int x, int goal = 0) { while(par[x] != goal) { int y = par[x], z = par[y]; if(z != goal) { if(chk(x) == chk(y)) { rotate(y); //方向一致则旋转x的父节点 } else { rotate(x); //方向不一致则旋转x } } rotate(x); } if(goal == 0) { rt = x; } } ``` ## 查找 ### find 查找值为x的节点，找到后将其置为root以便操作。 find操作的意义在于将值为x的节点伸展（splay）到根，在不存在值为x的节点的情况下，应将小于x的节点中最大的节点伸展（splay）到根。 ```cpp void find(int v) { int p = rt; while(ch[p][v > val[p]] && val[p] != v) { p = ch[p][v > val[p]]; } splay(p); } ``` ## 公共操作 如果将本文讲的Splay打包成一个class，则前文所述的操作应包含在private中，本节所述的操作应包含在public中。 ### insert Splay中的insert其实与朴素BST中的insert没有什么区别，但若直接插入可能导致树退化为链，所以要在末尾处调用一次splay()函数，使Splay树保持平衡。 ```cpp void insert(int v) { int cur = rt, p = 0; while(cur && val[cur] != v) { p = cur; cur = ch[cur][v > val[cur]]; } if(cur != 0) { cnt[cur]++; } else { cur = ++tot; if(p != 0) { ch[p][v > val[p]] = cur; } ch[cur][0] = ch[cur][1] = 0; par[cur] = p; siz[cur] = cnt[cur] = 1; val[cur] = v; } splay(cur); } ``` ### serial serial操作：查询值为x的节点，在find操作的基础上，serial只需要在find过后输出左子树节点数量即可。 ```cpp find(x); printf("%d\n", siz[ch[rt][0]]); ``` ### pre 找出值为x的节点的前驱，将节点splay到root后在左子树查找最大值即可。 ```cpp int pre(int v) { find(v); if(val[rt] < v) { return rt; } int p = ch[rt][0]; while(ch[p][1]) { p = ch[p][1]; } return p; } ``` ### suc 找出值为x的点的后继，与前驱同理。 ```cpp int nxt(int v) { find(v); if(val[rt] > v) { return rt; } int p = ch[rt][1]; while(ch[p][0]) { p = ch[p][0]; } return p; } ``` ### remove 删除一个节点。 删除较为复杂，分四步来完成： 1. 定义last为节点的前驱，next为节点的后继。 2. 将last节点splay到root，这时last的左子树皆小于x 3. 将next节点splay到last的子节右点，此时next的右子树皆大于x 4. next的左节点rm必然满足 last < rm < next，删除rm即可 ```cpp void remove(int v) { int last = pre(v), next = nxt(v); splay(last); splay(next, last); int del = ch[next][0]; if(cnt[del] > 1) { cnt[del]--; splay(del); } else { ch[next][0] = 0; } pushup(next); pushup(rt); } ``` ### rank 查找排名为k的节点 用一个指针cur从root开始查找，每次根据左子树大小于k的关系修改cur以及k。 ```cpp int kth(int k) { int p = rt; while(1) { if(ch[p][0] && k <= siz[ch[p][0]]) { p = ch[p][0]; } else if(k > siz[ch[p][0]] + cnt[p]) { k -= siz[ch[p][0]] + cnt[p]; p = ch[p][1]; } else { return p; } } } ``` # 完整代码 ```cpp #include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN = 200000 + 5; int ch[MAXN][2], par[MAXN], val[MAXN], siz[MAXN], cnt[MAXN]; int tot, rt; int chk(int p) { return ch[par[p]][0] == p ? 0 : 1; } void pushup(int p) { siz[p] = siz[ch[p][0]] + siz[ch[p][1]] + cnt[p]; } void rotate(int x) { int y = par[x], z = par[y], d = chk(x), w = ch[x][d ^ 1]; ch[y][d] = w; par[w] = y; ch[z][chk(y)] = x; par[x] = z; ch[x][d ^ 1] = y; par[y] = x; pushup(y); pushup(x); } void splay(int x, int goal = 0) { while(par[x] != goal) { int y = par[x], z = par[y]; if(z != goal) { if(chk(x) == chk(y)) { rotate(y); } else { rotate(x); } } rotate(x); } if(goal == 0) { rt = x; } } void insert(int v) { int cur = rt, p = 0; while(cur && val[cur] != v) { p = cur; cur = ch[cur][v > val[cur]]; } if(cur != 0) { cnt[cur]++; } else { cur = ++tot; if(p != 0) { ch[p][v > val[p]] = cur; } ch[cur][0] = ch[cur][1] = 0; par[cur] = p; siz[cur] = cnt[cur] = 1; val[cur] = v; } splay(cur); } void find(int v) { int p = rt; while(ch[p][v > val[p]] && val[p] != v) { p = ch[p][v > val[p]]; } splay(p); } int kth(int k) { int p = rt; while(1) { if(ch[p][0] && k <= siz[ch[p][0]]) { p = ch[p][0]; } else if(k > siz[ch[p][0]] + cnt[p]) { k -= siz[ch[p][0]] + cnt[p]; p = ch[p][1]; } else { return p; } } } int pre(int v) { find(v); if(val[rt] < v) { return rt; } int p = ch[rt][0]; while(ch[p][1]) { p = ch[p][1]; } return p; } int nxt(int v) { find(v); if(val[rt] > v) { return rt; } int p = ch[rt][1]; while(ch[p][0]) { p = ch[p][0]; } return p; } void remove(int v) { int last = pre(v), next = nxt(v); splay(last); splay(next, last); int del = ch[next][0]; if(cnt[del] > 1) { cnt[del]--; splay(del); } else { ch[next][0] = 0; } pushup(next); pushup(rt); } int main() { int n, op, x; scanf("%d", &n); insert(-1e9); insert(1e9); for(int i = 1; i <= n; i++) { scanf("%d%d", &op, &x); if(op == 1) { insert(x); } else if(op == 2) { remove(x); } else if(op == 3) { find(x); printf("%d\n", siz[ch[rt][0]]); } else if(op == 4) { printf("%d\n", val[kth(x + 1)]); } else if(op == 5) { printf("%d\n", val[pre(x)]); } else if(op == 6) { printf("%d\n", val[nxt(x)]); } } return 0; } ``` # 参考资料 [伸展树- 维基百科，自由的百科全书](https://zh.wikipedia.org/zh-hans/伸展树) [Splay Tree Introduction](https://www.youtube.com/watch?v=IBY4NtxmGg8)