水题
不知名用户
·
·
学习·文化课
%%% HL_Lee4974 的建系做法
希望不要算错，直接对着 LaTex 算的。
题意：水面下深度为 1 的位置有一点，射出倾角为 [\theta,\theta+\text d\theta]（\text d\theta 表示极小角）的光，折射率为 n(\sin\theta<\frac1n)，求该点虚像位置。（折射光线反向延长线交点）。
画出图：
易知 \angle COA=\theta,\angle DOA=\theta+\text d \theta，故 AD=\tan(\theta+\text d\theta),AC=\tan\theta,CD=\tan(\theta+\text d\theta)-\tan\theta。
根据折射定律，\sin\theta_1=n\sin\theta,\sin\theta_2=n\sin(\theta+\text d\theta)。设 O' 深度为 d，则 BC=d\tan\theta_1,BD=d\tan\theta_2,CD=d(\tan\theta_2-\tan\theta_1)。联立 CD=\tan(\theta+\text d\theta)-\tan\theta，有 \displaystyle d=\frac{\tan(\theta+\text d\theta)-\tan\theta}{\tan\theta_2-\tan\theta_1}，\displaystyle \tan\theta_1=\sqrt{\frac{n^2\sin^2\theta}{1-n^2\sin^2\theta}},\tan\theta_2=\sqrt{\frac{n^2\sin^2(\theta+\text d\theta)}{1-n^2\sin^2(\theta+\text d\theta)}}。即 \displaystyle d=\frac{\text d\theta(\tan\theta)'}{\text d\theta(\sqrt{\frac{n^2\sin^2\theta}{1-n^2\sin^2\theta}})'}=\frac{(\tan\theta)'}{(\sqrt{\frac{n^2\sin^2\theta}{1-n^2\sin^2\theta}})'}。
\frac12\sqrt{\frac{1-n^2\sin^2\theta}{n^2\sin^2\theta}}\cdot\frac{2n^2\sin\theta\cos\theta(1-n^2\sin^2\theta)-n^2\sin^2\theta(-2n^2\sin\theta\cos\theta)}{(1-n^2\sin^2\theta)^2}=\frac12\sqrt{\frac{1-n^2\sin^2\theta}{n^2\sin^2\theta}}\cdot\frac{2n^2\sin\theta\cos\theta}{(1-n^2\sin^2\theta)^2}=n\cos\theta(1-n^2\sin^2\theta)^{-\frac32}$。
故 $\displaystyle d=\frac{(1-n^2\sin^2\theta)^{\frac32}}{n\cos^3\theta}$。$\displaystyle AB=AC-BC=\tan\theta-\sqrt{\frac{n^2\sin^2\theta}{1-n^2\sin^2\theta}}\cdot\frac{(1-n^2\sin^2\theta)^{\frac32}}{n\cos^3\theta}=\tan\theta-\frac{\sin\theta(1-n^2\sin^2\theta)}{\cos^3\theta}$，$d$ 表示深度，$AB$ 表示水平方向上移动的距离。
本人画的图非常丑，还是 HL_Lee4974 的图好看，不过没标 A,B 点所以不好放上面：
