CMO 2024 游记 / 12 月 2 日鲜花

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这是教练要求写的 CMO 2024 参赛总结，一个小时内赶出来的，大家就凑活着当游记看看吧。

很荣幸能入选江西省队，参加本届 CMO。作为高一选手，这次参赛我没有太大的压力，也没有给自己设置太高的目标，只是希望能拼尽全力，发挥出自己的水平。

这一届 CMO 只设立了两个考场，每个考场要容纳三百多人，周围难免会有其他选手发出的一些声音，好在平时的训练中我已经习惯了在嘈杂的环境中思考问题，这对我影响不大。赛场为每道题目提供了一张对应的答题卡，每张答题卡都有正反四面的空间书写过程。除此之外，比赛还对过程的书写做了一些更细致的要求，例如使用定理时应完整书写定理名字，有些未在大纲中出现的定理需要叙述内容，还比如不允许使用涂改带，这些都体现了国赛的高标准严要求。

我在正式考试中制定的策略是一道题一道题的去做，如果一道题花费了太久时间就先去看看后面的题是否更好拿分。

第一天的比赛开始后，我先通读了一遍三道题目，第一题似乎是一道一试风格的数列题，第二题是一道传统几何，而第三题看起来不太可做。很快我就想到了第一题第一问的做法，而在代入一些参数、列了几项之后也找到了数列的结构，基本解决了第二问，不过过程似乎不好写。我暂时跳过了第一题的过程，先去思考第二题。我花了不少的时间画了两个比较精准的图，然后做了一些基本的推导。随后我猜测三条线段共的点是 LN 的中点，不过很快就意识到这个结论不对。再次猜测这个点在 ID 上，这样看起来就比较正确了。转化之后，问题被拆解为了两个不相干的子问题，我只需要一一解决即可。此时，我感觉有些头晕，思维也迟钝了不少，赶紧去卫生间里洗了一把脸。回来以后顿觉神清气爽、状态好转，很快就接连解决了这两个子问题，顺利做出第二题。此时比赛刚过去不到两小时，感觉目前节奏控制得很好，就赶紧去写前两题的过程。

在书写第一题的过程时，我犯了本场考试中最大的错误：在对 \lfloor \frac{L}{\alpha} \rfloor 进行放缩时，我下意识的写下了 \lfloor \frac{L}{\alpha} \rfloor \geq \frac{L - \alpha + 1}{\alpha} 这个算式，却忘记了这个不等式成立要求 \alpha 是整数。这导致我即使思路正确，可最后得到的周期边界是 \lfloor \frac{L}{\alpha} \rfloor 而不是 \lfloor \frac{L + 1}{\alpha} \rfloor。不幸的是，尽管检查了三遍，我仍然没能在考场上发现这个错误，这成为了我在本届 CMO 中最大的遗憾。书写前两题的过程大概花费了我接近两个小时的时间，眼看着比赛只剩下四十多分钟了，我匆忙地对第三题做了一些很基本的推导，希望能拿到三分。考试结束后，我长舒一口气，成功写出两题也算是一个小小的胜利了。

然而回酒店之后，我忽然意识到第一题中，我的做法并没有用到 L 的下界。在对整个做法进行了复盘以后，我终于发现了先前的错误，这导致我的心态出现了一些波折。不过，毕竟写出了两道题，再加上细节错误应该不会扣太多分，我认为我第一天的发挥不算太差，如果第二天稳扎稳打，金牌的可能性还是有的。

在第二天的比赛中，我发现前两题似乎都与我擅长的组合板块有关联，这对我而言是一个极大的优势。最开始，我猜错了第一题的答案，浪费了一些时间，不过不久之后也找到了更优的构造，得到了正确的答案。此时题目被转化为一个代数证明题，在进行了一些简单的推导与放缩后，我顺利在一个小时之内解决了这道题，又花了半个小时仔仔细细地写完了这题的过程。接下来看第二题，很明显可以用原根将指数化为倍数，再进行建图，就能把题目转为一道图论构造题。对于这种每个点出度为 1 的有向图，我已经遇到过无数次了，因此我很有信心能够拿下本题。稍稍进行探索之后，我发现每个连通分支当中，都有一个中心的环，而每个环上的点都套了一棵满二叉树，满二叉树的层数又和 p - 1 中 2 的幂次有关，只需让 p 是 4k + 3 型素数就能很轻松的给出 f 的构造，进而完成了好素数的论证。既然如此，那么再用 \operatorname{Dirichlet} 定理让 p 与 V_2(p - 1) 都充分大，就能给出坏素数的形式。经过进一步的思考，我终于利用离散介值原理得到了坏素数的证明，完成了本题。在剩下的时间里，我把所有的时间都花在了本题过程的书写上，因为铺垫比较长，而构造和证明都很复杂，我奋笔疾书，一直写到了考试结束前的最后几分钟。我信心满满地走出考场，自以为考得很好，可随后才得知有很多人都写出了两题，这样看来金牌的分数线可能会涨。

接下来就是紧张的估分环节了。我第四题的做法和主流的几何法完全不同，不过也并没有发现任何伪证的地方，第二题、第五题和主流做法类似，唯一的挂分点应该还在第一题。和教练交流之后，我们认为这不算是一个太大的错误，往届也有计算错误给全分的例子，应该还是算基本对，不会扣超过 9 分。于是乎，我给自己估的分大概在 75 到 81 之间。

然而不可思议的是，查分屏幕弹出了 69 这个分数。我只好接受了教练的看法：这次改卷应该非常严格，而我的第一题大概率被扣了 15 分。随着排名的消息一点点流出，大家对金牌线的预估，也从 63 分、66 分，一路攀升到 69 分、72 分乃至更高。眼见希望一点点变小，心中五味杂陈，我不怨自己没有金牌，可是因为一个低级错误导致牌子变色，实在是很令人沮丧的一件事。

随着最终排名的出炉，只有银牌的事实确凿了，金牌线更是飙到了难以置信的 75 分。不能说没有遗憾，但总结下来还是实力不够，三六两题没有拿到一个得分点，导致我没有任何犯错的空间。希望明年的自己，仍然能来到 CMO 的考场上，以一个更沉稳的状态拿下自己理想的成绩！

下面是我自己这一年来的感悟。

今天是 12 月 2 日，也是我的 16 岁生日，这一年来，太多太多的意外发生了。从 WC 的遗憾打铜，到省选的全面爆炸，可最令我意想不到也最令我深深失望的，还是 NOI 2024 再度铜牌，排名甚至比初二的时候还低。一直以来，我总是以银牌、乃至是江西队长的水准要求自己，很难不说这是我 OI 生涯中最灰暗的一个赛季。重重打击之下，我选择了离开，国赛之后我几乎没写过一道 OI 题，也没打过一场模拟赛，只能希望岁月可以治愈曾经的伤痕。

可另一方面，在数学竞赛中，我先是在八月份的东南赛收获银牌（现在看来不算一个太好的成绩，可放在当时足以让我欣喜若狂了），随后在九月的高联中超常发挥，居然取得了江西第二的成绩。回想起去年高联时自己耻辱的省二等奖，四五月份时联赛 P1 难度的几何题一道都不会，怎能想到经过了赛前一个多月的集训，成绩就有了如此惊人的飞跃？或许是运气使然，也或许是坠入低谷后的触底反弹。可无论如何，我超越了曾经的自己，更是摆脱了初中三年以来，我自认为没有过一场酣畅淋漓的正式比赛的魔咒。我终于胜利了，经历过低谷，经历了山巅，如今眼前是一片辽阔的平原！

有了这一段“有心栽花花不开，无心插柳柳成荫”的传奇经历，我和过去的自己和解了。我接受了过往不尽如人意的比赛成绩，或许人生本就不应有那么多执念，放下包袱，往往能看见崭新的自己。

停课准备 CMO 的三个月中，我不仅仅在能力上有了全方面的提升，更是在精神上得到了升华。没有了提前预设好的目标，没有了过多的期待，我终于能够静下心来，享受题目本身的乐趣。这必定是我人生中最没有负担的三个月，我终于可以忘记 OI 留给我不好的回忆，可以摆脱掉文化课的压力，而作为低年级选手，我可以不带有升学的压力，全心享受这场一年一度的数学盛宴。或许这就是竞赛真正的魅力所在吧！

虽然最后的结果不算十分圆满，但我早已满载而归。经历了这一切，结果早已不重要了。

正所谓：“但行好事，莫问前程。”与诸君共勉！