P3980 [NOI2008]志愿者招募
斯德哥尔摩
2018-08-02 19:08:42
[P3980 [NOI2008]志愿者招募](https://www.luogu.org/problemnew/show/P3980)
其实我一开始是想源点连志愿者、志愿者连工作的天（区间）、天连汇点，再跑最小费用最大流。
但是想一想就知道会被叉掉——费用就不好算。
然后看完题解，发现了一种建图方法：
用二元组$(w,cost)$表示流量为$w$费用为$cost$的边。
对于每一天向后一天连边$(MAX-a_i,0)$
对于每一种志愿者选择，$s_i$向$t_i+1$连边$(MAX,c_i)$
从超级源向第一天连边$(MAX,0)$
从最后一天+1向超级汇连边$(MAX,0)$
然后从超级源向超级汇跑费用流。
为什么这样跑会正确呢？
可以发现，第一次网络流后所有天数边的容量会被填至$max-a_i$（$max$为需求最大天的需求量），不会走带权边。
然后因为有带权边存在，所以网络还可以扩容。
因为保证一定存在可行解，所以容量一定可以扩成$MAX$。
那么每条天数边都可以视为填满（因为天数边权值为0,一定优于带权边，会优先被填满，出现前面填带权边覆盖本条边情况除外）。
然后对于每天，不通过天数边经过的流量总和一定至少为$a_i$。
换句话说，缺少的流量会从带权边流过，自动补齐$MAX$。
并且费用流算法会自动求出费用最小解，因此可以保证方案一定最优。
附代码：
```cpp
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<queue>
#define MAXN 20010
#define MAX 999999999
using namespace std;
int n,m,s,t,c=2,maxflow=0,mincost=0;
int head[MAXN],deep[MAXN],path[MAXN],flow[MAXN],fa[MAXN];
bool vis[MAXN];
struct node{
int next,to,w,cost;
}a[MAXN<<1];
inline int read(){
int date=0,w=1;char c=0;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
return date*w;
}
inline int relax(int u,int v,int i,int w,int cost){
if(path[v]>path[u]+cost){
path[v]=path[u]+cost;
fa[v]=u;
deep[v]=i;
flow[v]=min(flow[u],w);
return 1;
}
return 0;
}
inline void add(int u,int v,int w,int cost){
a[c].to=v;a[c].w=w;a[c].cost=cost;a[c].next=head[u];head[u]=c++;
a[c].to=u;a[c].w=0;a[c].cost=-cost;a[c].next=head[v];head[v]=c++;
}
bool spfa(){
int u,v;
queue<int> q;
for(int i=s;i<=t;i++){path[i]=MAX;vis[i]=false;fa[i]=-1;}
path[s]=0;
vis[s]=true;
fa[s]=0;
flow[s]=MAX;
q.push(s);
while(!q.empty()){
u=q.front();
q.pop();
vis[u]=false;
for(int i=head[u];i;i=a[i].next){
v=a[i].to;
if(a[i].w&&relax(u,v,i,a[i].w,a[i].cost)&&!vis[v]){
vis[v]=true;
q.push(v);
}
}
}
if(path[t]==MAX)return false;
return true;
}
void EK(){
while(spfa()){
for(int i=t;i!=s;i=fa[i]){
a[deep[i]].w-=flow[t];
a[deep[i]^1].w+=flow[t];
}
maxflow+=flow[t];
mincost+=flow[t]*path[t];
}
}
void work(){
EK();
printf("%d\n",mincost);
}
void init(){
int u,v,w;
n=read();m=read();
s=0;t=n+2;
for(int i=1;i<=n;i++){
u=read();
add(i,i+1,MAX-u,0);
}
add(s,1,MAX,0);add(n+1,t,MAX,0);
for(int i=1;i<=m;i++){
u=read();v=read();w=read();
add(u,v+1,MAX,w);
}
}
int main(){
init();
work();
return 0;
}
```