高等代数 1 期末复习

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四. 向量空间和线性映射

4.7 对偶空间

对 F-向量空间的 V 定义 对偶空间 V^\or 为 \mathrm{Hom}(V,F) 。

由此定义线性映射 T:V\rightarrow W 的 转置映射 {}^tT 为 W^\or \rightarrow V^\or，表现为 \lambda\rightarrow \lambda T 。容易验证转置矩阵仍是线性映射。

在 V 有限维情况下，有 \dim V=\dim V^\or 。如下给出具体的基映射：

【4.7.8（对偶基）】对于 V 的基 v_1,\cdots,v_n，定义其对偶基为：

\check v_i\in V^\or:\quad \check v_i\left(\sum\limits_{j=1}^{n}x_jv_j\right)=x_i

其形式类比投影映射。

以 F^{n} 为例，原空间的基为列向量，对偶基的表现形式为行向量。

由对偶基的定义易推 ^tT 对应的矩阵为 T 对应的矩阵的转置。

4.8 ker 和 im

线性映射 T:V\rightarrow W 的 ker 定义为 T^{-1}(0)，im 则形象地由名给出其意义。\ker T 是 V 的子空间，\mathrm{im}\ T 是 W 的子空间。

ker 的重要性在于其描述了 T 的纤维 —— 试想圆柱打向圆平面的线性映射。另外，从 ker 与 im 能直接说明一个线性映射有关单满的信息。

【4.8.4】对有限维 V，我们有：

\dim V=\dim (\ker T)+\dim (\mathrm{im}\ T)

证明取基操演即可。由此相等维数线性空间之间的映射的单满性得到了联系。

由此定义矩阵的 秩 为 \dim(\mathrm{im}\ T) 。

【4.8.8（Sylvester 不等式）】对于线性映射 U\stackrel{T}\rightarrow V\stackrel{S}\rightarrow W，设 V 有限维，有：

\mathrm{rk}(ST)\geq \mathrm{rk}(S)+\mathrm{rk}(T)-\dim V

按定义，rk(ST) 为 \dim(\mathrm{im}(T))-\dim(\mathrm{im}(T)\cap \ker(S)) 。由此要证明 \dim V-\mathrm{rk}(S)\geq \dim(\mathrm{im}(T)\cap \ker(S)) 。左侧是 \dim \ker(S) 。

以下是一个推广：

【4.8.9（Frobenius 不等式）】\mathrm{rk}(RST)\geq \mathrm{rk}(RS)+\mathrm{rk}(ST)-\mathrm{rk}(S) 。

同理进行拆分：

\begin{aligned} rk(RST)&=\dim (\mathrm{im}(ST))-\dim(\mathrm{im}(ST)\cap\ker(R))\\ &\geq \dim (\mathrm{im}(ST))-\dim(\mathrm{im}(S)\cap\ker(R))\\ rk(RS)&=\dim(\mathrm{im}(S))-\dim(\mathrm{im}(S)\cap\ker(R)) \end{aligned}

4.9 基的变换：矩阵的共轭与相抵。

线性映射 T:V\rightarrow W 在两侧选定基 v_1,\cdots,v_n 与 w_1,\cdots,w_m（记顺序）以后，其可以用矩阵描线。这体现为向量空间的同构：

\mathcal{M}:\mathrm{Hom}(V,W)\stackrel{\sim}\rightarrow \mathrm{M}_{m\times n}(F)

将选定有序基 \mathbf{v},\mathbf{w} 后相应的 \mathcal{M} 记为 \mathcal{M}_{\mathbf{v}}^{\mathbf{w}} 。

记 \mathcal{P}_{\mathbf{v'}}^{\mathbf{v}} 意在描述 \mathbf{v}' 到 \mathbf{v} 的坐标转换，从 (x')\rightarrow (x) 满足 \sum x'_iv'_i=\sum x_iv_i 。将 \mathcal{P}_{\mathbf{v'}}^{\mathbf{v}} 视同矩阵：

\left(v_1'(\mathbf{v})\mid\cdots \mid v_n'(\mathbf{v})\right)

由此，可逆的 \mathcal{P}_{\mathbf{v'}}^{\mathbf{v}} 充分描述了基的转换。由矩阵的逆提供基的还原。

【4.9.5（共轭 & 相似）】对于 A,B\in \mathrm{M}_{n\times n}(F) 若存在 P\in\mathrm{M}_{n\times n}(F) 可逆且有 B=P^{-1}AP，则称 A 和 B 共轭（相似）。

【4.9.8（相抵）】称 A,B\in\mathrm{M}_{m\times n}(F) 相抵，若存在 Q\in \mathrm{M}_{m\times m}(F) 和 P\in\mathrm{M}_{n\times n}(F) 皆可逆，且有：B=QAP 。

【4.9.9】两个矩阵相抵的充要条件是 \mathrm{rk}(A)=\mathrm{rk}(B) 。

通过初等行列变换可以将 A,B 均消元得到一个主对角线上前 r 个为 1，剩下所有元素为 0 的矩阵。不妨简记为 D_r 。由此也能直接推导出 "行秩等于列秩" 的等式。

4.10 直和分解

对于 V 的任意子空间 V_0,V_1 有：

\dim(V_0)+\dim(V_1)=\dim(V_0\cap V_1)+\dim(V_0+V_1)

由外直和构造 T:V_0\oplus V_1\rightarrow V 利用 4.8.4 直接得到。

4.12 商空间

【4.12.5（余核）】线性映射 T:V\rightarrow W 的余核定义为 W 对 \mathrm{im}(T) 的商空间：

\mathrm{coker}(T):=W/\mathrm{im}(T)

反过来有：

im(T)=\ker\left(W\stackrel{q}\rightarrow\mathrm{coker}(T)\right)

进行商映射更像是维度分裂，这点在正交空间的部分可以有更形象的印象。

五. 行列式

5.4 行列式的定义与基本性质

\begin{aligned} \det A&=D_e(Ae_1,\cdots,Ae_n)\\ &=\sum_{\sigma}\mathrm{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}a_{\sigma(i),i} \end{aligned} ## 5.8 特征多项式和 Cayley-Hamilton 定理 以多项式 $f=\sum\limits_{k=0}^{m}a_kX^k\in F[x]$ 带入 $T$ 的产物记为 $f(T)$，分析维数可知欲使 $f(T)=0$ 可以找到 $\deg f\leq n^2$ 的解。 进一步，当 $T$ 可逆时，通过消去 $T$ 可以得到 $f(0)\not=0$ 的解 $f$ 使得 $f(T)=0$ 。对常数项移项，我们能直接表示出 $T^{-1}$（由关于 $T$ 的多项式）。由此可见，对于分块上三角的 $T$，$T^{-1}$ 具有同样的分块上三角结构。下三角和对角的情况也是如此。 > 【**5.8.3**】**特征多项式** 是共轭不变的，由： > $$ > X\cdot 1_{n\times n}-P^{-1}AP=P^{-1}(X\cdot 1_{n\times n}-A)P > $$ > 易见。 > **【5.8.6】**对任意 $A\in\mathrm{M}_{m\times n}(F)$ 和 $B\in\mathrm{M}_{n\times m}(F)$ 有 $F(x)$ 中的等式： > $$ > X^n\mathrm{Char}_{AB}=X^{m}\mathrm{Char}_{BA} > $$ 接下来完成 Cayley-Hamilton 的证明。 > **【5.8.8（Cayley-Hamilton 定理）】**对一切 $A\in\mathrm{M}_{n\times n}(F)$ 皆有 $\mathrm{Char}_A(A)=0_{n\times n}$ 。 有以下推导： $$ \begin{aligned} \mathrm{Char}_A(A)&=A^n+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots+c_01_{n\times n}\\ &=A{\color{red}{(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots+c_11_{n\times n})}}+(-1)^{n}\det A\cdot 1_{n\times n}\\ &=A{\color{blue}{(-1)^{n-1}A^{\or}}}+(-1)^{n}\det A\cdot 1_{n\times n}\\ \end{aligned} $$ 先记 $\mathrm{Char}_A(A)$ 的伴随为 $\sum\limits_{k=0}^{n-1}X^kD_k$ 。其中 $D_k\in\mathrm{M}_{n\times n}(F)$ 。而即有： $$ (c_0+\cdots+c_{n-1}X^{n-1}+X^{n})1_{n\times n}=(X\cdot 1_{n\times n}-A)\sum_{k=0}^{n-1}X^kD_k $$ 在 $F[x]$ 中比较系数，整理差分，得到 $D_0$ 为 $(-A)^\or$ 即说明了上式替换的正确性。另一方面，可以由该等式对线性映射 $T\in\mathrm{End}(V)$ 定义 $T^{\or}$ 。 > **【5.8.11】**有： > $$ > \mathrm{Char}_{A^{-1}}=X^{n}+\frac{c_1}{c_0}\cdot X^{n-1}+\cdots+\frac{c_{n-1}}{c_0}\cdot X+\frac{1}{c_0} > $$ 由 $\det A\cdot\det(X\cdot 1_{n\times n}-A^{-1})=(-X)^{n}\cdot \det(X^{-1}\cdot 1_{n\times n}-A)$ 易见。 ## 习题 > 【**7**】所有可逆 $A$ 可以表成 $UP_{\sigma}V$ 的形式，其中 $P_{\sigma}$ 是置换矩阵，$U,V$ 是上三角可逆矩阵。 每次选定 $A$ 第一列最后一个非 $0$ 元，用初等行列变换使其为 $1$，且清空同行同列。所用到的矩阵均为上三角。接着对剩下的部分归纳。最后得到的矩阵自然是置换矩阵。 > 【**9**】证明： > $$ > \begin{vmatrix} > \cos x& 1\\ > 1& 2\cos x& 1\\ > & 1& 2\cos x& \ddots\\ > & & 1& \ddots&\ddots\\ > & & &\ddots&\ddots&1\\ > & & & &\ddots& 2\cos x& 1\\ > & & & & &1& 2\cos x > \end{vmatrix}=\cos nx > $$ 从最后一行归纳即可。得到递推式列特征方程。 > 【**14**】记 $(a,b)=\gcd(a,b)$ 证明： > $$ > \det ((i,j))_{i,j}=\prod_{i=1}^{n}\varphi(i) > $$ 逐行消元，利用 $n=\sum\limits_{d\mid n}\varphi(d)$ 对第 $n$ 行消元即可。最后每行在 $(i,ik)$ 上值为 $\varphi(i)$ 。 > 【**20**】设 $F=\mathbb{C}$ 。证明若 $AB-BA=A$ 则 $A$ 不可逆。 设 $A$ 可逆，则 $B-A^{-1}BA=1_{n\times n}$ 。两边取迹。 > 【**21**】对所有向量空间 $V$ 和 $A,B\in \mathrm{End}(V)$，定义 $\mathrm{End(V)}$ 的元素 $[A,B] := AB −BA$. > > 1. 证明若 $\mathrm{char}\ F = 0$ 则当 $V$ 有限维时 $[A,B]=\mathrm{id}$ 不可能成立。 > 2. 给出无穷维向量空间 $V$ 和 $A,B\in\mathrm{End}(V)$ 的例子，使得 $[A,B]=\mathrm{id}$ 。 考察迹的形式得到【1】。通过 $f\rightarrow xf$ 和 $f\rightarrow f'$ 在 $F[x]$ 中得到【2】的构造。 > 【**27 - 28（Kirchhoff 矩阵-树定理）**】指定 $G$ 的一个定向，并设 $G$ 联通。定义 $B\in \mathrm{M}_{n\times m}(\mathbb{Q})$ 为 $b_{i,j}$ 非 $0$ 当且仅当 $e_j$ 有 $i$ 作为端点，且始点为 $i$ 设为 $1$，终点为 $i$ 设为 $-1$ 。不难发现 $B\cdot{}^tB$ 就是所谓 Laplace 矩阵。令 $B_0$ 为 $B$ 删去最后一行得到的矩阵，$S\subseteq E$ 为 $n-1$ 条边构成的子集。易知： > $$ > \det B_0\begin{pmatrix}1,\cdots,n-1\\S\end{pmatrix}=\begin{cases}0& S\ 包含环路\\\pm 1& S\ 是树的边集\end{cases} > $$ > 由此，证明生成树个数为 $\det L_0$ 。 基于 Cauchy-Binet 定理有： $$ \sigma=\det L_0=\sum_{S\subseteq\{1,\cdots,m\},|S|=n-1}\left(\det B_0\begin{pmatrix}1,\cdots,n-1\\S\end{pmatrix}\right)^2 $$ 结果显然易见。更一般的情形，由于 $L$ 每行每列都是 $0$，故： $$ \mathrm{char}_L(X)=(-1)^{n-1}n\sigma\cdot X+高次项 $$ # 六. 重访环与多项式 ## 6.1 理想和商环 > 【**6.1.1（理想）**】设 $I$ 为环 $R$ 的非空子集，$I$ 称为 $R$ 的 **理想** 当且仅当： > > - 加法封闭：$x,y\in I$ 则 $x+y\in I$ 。 > - 乘法双边封闭：$\forall r\in R$ 阶有 $rI\subseteq I,Ir\subseteq I$ 。 真理想不可能是 $R$ 的子环：因为它不含乘法幺元 $1$ 。 环同态的核是主理想。同理将商的概念应用过来，可以定义商环 $R/I$ 称为 $R$ 对理想 $I$ 的商环。 $R$ 是域当且仅当它没有 $\{0\}$ 和 $R$ 之外的理想。因为非零理想包含形如 $(x)$ 的理想（$x\not=0$），而 $x$ 可逆意味着理想非真理想。反之，找到 $x\not\in R^\cross,x\not=0$ 和 $(x)$ 。由此，对于 $\varphi:F\rightarrow R$ 的环同态，由 $\ker(\varphi)$ 是 $\{0\}$ 易知 $\varphi$ 是单的。 ## 6.2 多项式的唯一分解性质 > 【**6.2.1**】对整环 $R$ 和 $x,y\in R$，若有 $r\in R^{\cross}$ 使得 $x=ry$ 则记为 $x\sim y$ 。 另一个结果是，$x\mid y$ 当且仅当 $(y)\subseteq (x)$ 。于是 $x\sim y$ 时，$(x)=(y)$ 自然成立。在之后我们主要考虑 $\sim$ 等价类。 > 【**6.2.3**】设 $p$ 为整环 $R$ 的非零元，且 $p\not\in R^\cross$ 。 > > - 若 $p$ 满足 $p\mid ab\Leftrightarrow (p\mid a)\or (p\mid b)$，则称 $p$ 为 **素元** 。 > - 若 $p$ 满足 $a\mid p\Leftrightarrow (a\sim p)\or(a\sim 1)$，则称 $p$ 为 **不可约元** 。 素元必不可约。若 $p=ab$ 则 $p\mid a$ 直接给出 $a\sim p$，而 $p\mid b$ 给出 $p\sim b$，即存在 $r\in R^\cross$ 使得 $p=rb$ 从而 $a\sim r\sim 1$ 。 > 【**6.2.5（唯一分解环）**】若每个 $R$ 中的非零元 $r$ 都存在不可约元 $p_1,\cdots,p_n\in R$ 使得 $r\sim p_1\cdots p_n$ 。而且 $p_1,\cdots,p_n$ 计重数唯一确定，则称 $R$ 是 **唯一分解环** 。 > 【**6.2.8**】整环 $F[X]$ 的所有理想 $I$ 都是主理想。 > 【**6.2.9**】整环 $F[X]$ 的所有不可约元都是素元。 设 $p$ 是 $F[X]$ 的不可约元，$p\mid ab$ 。令 $f=\langle p,a\rangle$，从而 $f\mid p,f\mid a$ 。因为 $p$ 不可约，所以 $f\sim 1$ 或 $f\sim p$ 。若前者成立，则 $\langle p,a\rangle=F[X]$，故存在 $px+ay=1$ 从而 $p\mid pxb+aby=b$ 指出 $p$ 素；若后者成立，则 $f\mid a$ 导致 $p\mid a$ 。 上面的证明只依赖于 $F[X]$ 是主理想环。由此可见：主理想环中，素元和不可约元等价。 ## 6.3 主理想环的唯一分解性 > 【**6.3.2**】整环 $R$ 是唯一分解环当且仅当： > > - $r\in R\setminus \{0\}$ 都能写成不可约元的乘积。 > - 所有不可约元都是素元。 对于仅当，只要证明不可约元都是素元。由 $p\mid ab$ 取 $a,b$ 的不可约分解。若 $ab$ 的不可约分解中没有出现 $p$，则 $\frac{ab}{p}\cdot p$ 是另一个不可约分解。由此 $p\mid a,p\mid b$ 必然成立其一。对于当，比较两个不可约分解，由素性重排归纳 $p_1,q_1$ 即可。 > 【**6.3.3（Noether 性质）**】设 $R$ 为主理想环，$(I_n)_{n=1}^{\infty}$ 是 $R$ 的一理想升链。有充分大的 $n$ 满足 $I_n=I_{n+1}=\cdots$ 。 令 $I=\bigcup_{n=1}^{\infty}I_n$，容易验证其也是理想。对应 $I=(x)$ 考察 $x$ 的出现时间即可。由此可见，主理想环中的理想升链一定会停止。 > 【**6.3.4**】主理想环一定是唯一分解环。 只用说明所有 $r\in R\setminus\{0\}$ 都能写成不可约元的乘积：反证，如果不存在，在约为 $r=r_1s_1$ 之后，通过 $(r)\subset (r_1)$ 构造理想升链，导出矛盾。 > 【**6.3.5**】主理想环中 $r_1,\cdots,r_n$ 互素当且仅当 $\langle r_1,\cdots,r_n\rangle=R$ 。 额外说明一下 **素理想**：对于真理想，如果 $a,b\in R$ 且 $ab\in I$，则 $a\in I\or b\in I$ 。素理想将 $0$ 因子收集起来，使得商环成为整环，即： > 【**6.3.*1**】$R\setminus I$ 是整环，当且仅当 $I$ 是素理想。 对于仅当，如果 $a,b\in R$ 且 $ab\in I$，由 $R\setminus I$ 是整环，有 $(a+I)(b+I)=I$ 指出 $a\in I\or b\in I$ 。对于当，考察 $a,b\in R$ 使得 $ab\in I$，由定义可知 $a,b$ 至少一个是 $R\setminus I$ 的零元。 > 【**6.3.*2**】$R\setminus I$ 是域，当且仅当 $I$ 是极大理想。 由 $R\setminus I$ 中没有非零真理想得出。 > 【**6.3.6**】在主理想环 $R$ 中，对于 $t\in R\setminus \{0\}$ 而且 $t\not\in R^\cross$，以下性质等价：1. $R/(t)$ 是域。 2. $R/(t)$ 是整环。 3. $t$ 是素元。 4. $t$ 不可约。 只有 $4\Rightarrow 1$ 不是照搬定义，不过此时 $(t)$ 是极大真理想。 > 【**6.3.8（主理想环的中国剩余定理）**】对主理想环 $R$ 设 $a_1,\cdots,a_n\in R\setminus\{0\}$ 凉两两互素，$a=a_1\cdots a_n$ 则有环同构： > $$ > \varphi:R/(a)\rightarrow \prod_{i=1}^{n}R/(a_i)\\ > r+(a)\rightarrow (r+(a_i))_{i=1}^{n} > $$ 处理 $n=2$ 的情形。对于单性，由 $\varphi(r+(a))=(0,0)$ 等价于 $a_1\mid r\and a_2\mid r$ 得到 $a=a_1a_2\mid r$ 。对于满性，取 $x_1\in(a_1),x_2\in(a_2)$ 使得 $x_1+x_2=1$，则对于 $rx_1+rx_2=r$ 有 $\varphi(rx_1+(a))=(0,r+(a_2))$ 等推得满性。 ## 6.10 从不可约多项式构造扩域 > 【**6.10.2**】设 $f\in F[x]\setminus F$，则 $1,X,\cdots,X^{\deg f-1}$ 对 $(f)$ 的陪集给出 $F[x]/(f)$ 的基。 当 $f$ 不可约时，$F[x]/(f)$ 是域。 # 七. 对角化 ## 7.1 特征值与特征向量 > 【**7.1.2（特征值和特征向量）**】设 $T\in \mathrm{End}(V)$ 而 $\lambda\in F$ 。 > > - 称 $V_{\lambda}=\ker(\lambda\cdot id_V-T)$ 为 $T$ 的 $\lambda$-特征子空间。若其非零空间则称 $\lambda$ 为特征值。 > - 若 $v\in V_{\lambda}$ 且 $v\not=0$ 则称 $v$ 是 $T$ 的一个特征向量，以 $\lambda$ 为特征值。 若可以找到一组基 $v_1,\cdots,v_n$ 均是特征向量，则 $D=P^{-1}AP$ 是对角矩阵。其中 $P$ 以 $v_i$ 为列向量，$D$ 以 $\lambda_i$ 为对角元。 $\mathrm{Char}_T$ 分裂是 $T$ 可对角化的必要条件。易证不同 $V_{\lambda}$ 中线性无关，只需依次施加 $\lambda_i,\lambda_1$ 进行归纳即可。由此，可对角化的充要条件即 $\sum \dim V_\lambda=n$ 。 ## 7.2 极小多项式 记 $V[h]=\ker(h(T))$ 。不难发现 $V[h]$ 是 $T$-不变子空间，因为 $T$ 的任意幂次交换。另外，我们有 $V_\lambda=V[X-\lambda]$ 。 > 【**7.2.1**】设 $f\in F[x]$ 分解为 $f=gh$，其中 $g,h\in F[x]$ 互素。当 $T\in\mathrm{End}(V)$ 给定，有直和分解：$V[f]=V[g]\oplus V[h]$ 。 由互素可取 $a,b\in F[x]$ 使得 $ag+bh=1$ 。对任意 $v$ 我们有： $$ v=1\cdot v=a(T)g(T)v+b(T)h(T)v $$ 当 $v\in V[f]$ 时 $g(T)v\in V[h]$，另一侧同理。故有 $V[f]=V[g]+V[h]$ 。而若 $v\in V[g]\cap V[h]$，则有 $v=0$ 。这个证明是个构造性证明，通过辗转相除找到 $a,b$ 即可。 > 【**7.2.2（极小多项式）**】所有使 $T$ 归零的多项式 $h(T)$ 构成 $F[x]$ 的理想 $I$。必然能找到 $\mathrm{Min}_T$ 使得 $I=(\mathrm{Min}_T)$ 。称之为 **极小多项式** 。 一个推论是 $\mathrm{Min}_T$ 和 $\mathrm{Char}_T$ 在 $F$ 上有相同根集。这是由于 $f(T)v=f(\lambda)v$ 。 另一个 fact 是扩域后 $\mathrm{Min}_T$ 不变。假设 $F$ 是 $E$ 的子域，显然 $\mathrm{Min}_{T,E}\mid \mathrm{Min}_{T,F}$ 。而只需要证明两侧 $\deg$ 相等。证明左侧 $\deg$ 不会更小是在 $F$ 上解线性方程组，与 $E$ 无关。 > 【**7.2.7**】$T\in \mathrm{End}(V)$ 在 $F$ 上可对角化，当且仅当 $\mathrm{Min}_T$ 分裂无重根。 由于可对角化的充要条件是 $V=\bigoplus V_{\lambda_i}$ 。每个 $V_{\lambda_i}$ 对应的 $\mathrm{Min}_{T}$ 无非是 $X-\lambda_i$ 。 由此产生的拓展是，当 $\mathrm{Min}_T=p_1^{e_1}\cdots p_m^{e_m}$ 时，有： $$ V=V[p_1^{e_1}]\oplus \cdots \oplus V[p_m^{e_m}] $$ ## 7.3 上三角化 > 【**7.3.1（旗）**】向量空间 $V$ 的旗为 $V$ 的一列子空间： > $$ > \{0\}\subset V_0\subset\cdots\subset V_m=V > $$ > 若 $m=\dim V$ 则称之为完备旗。若 $T$ 在每个 $V_i$ 上不变，则称 $T$ 保持此旗。 若 $T\in\mathrm{End}(V)$ 保持 $V$ 的一组完备旗，则 $T$ 在 $F$ 上可上三角化。 > 【**7.3.5**】$T\in \mathrm{End}(V)$ 在 $F$ 上可上三角化的充要条件是 $\mathrm{Char}_T$ 分裂。 必要性易见，因为 $A\rightarrow P^{-1}AP$ 不改变 $\mathrm{Char}_A$ 。充分性考察 $\lambda_1$ 提取 $v_1$ 特征向量，由 $\mathrm{Char}_T=(X-\lambda_i)\cdot \mathrm{Char}_{\overline{T}}$ 归纳可得。其中 $\overline{T}\in \mathrm{End}(\overline{V})$，而 $\overline{V}=V/V_1$ 。 这个归纳过程也可作为 Cayley-Hamilton 定理的证明：设 $\mathrm{Char}_T$ 分裂，同样归纳即可。 ## 7.4 广义特征子空间 > 【**7.4.1（广义特征子空间）**】记： > $$ > V_{[\lambda],N}=V[(X-\lambda)^{N}]\\ > V_{[\lambda]}=\bigcup_{N>0}V_{[\lambda],N} > $$ > 则称 $V_{[\lambda]}$ 是 $T$ 相对于 $\lambda$ 的 **广义特征子空间** 。 设 $\lambda$ 在 $\mathrm{Min}_T$ 中重数为 $b$，则 $V_{[\lambda]}=V[(X-\lambda)^{b}]$ 。对于 $v\in V_{[\lambda]}$ 使得 $(T-\lambda\cdot id_V)^N(v)=0$，即取 $h=\gcd(\mathrm{Min}_T,(X-\lambda)^N)$，考察 $h(T)v$ 得到 $0$ 。 由此 $V=\bigoplus V_{[\lambda_i]}$ 。记 $\lambda$ 的 **几何重数** 为 $\dim V_{\lambda}$，**代数重数** 为 $\dim V_{[\lambda_i]}=\deg \mathrm{Char}_{T_i}=a_i$ 。由此可对角化的另一个等价条件是所有 $\lambda$ 的几何重数和代数重数相等。 ## 7.5 同步对角化 > 【**7.5.2**】设 $S,T\in \mathrm{End}(V)$ 满足 $ST=TS$ 。则对于所有 $\lambda\in F$，相对于 $T$ 的特征子空间 $V_{\lambda}=\{v\in V:Tv=\lambda v\}$ 都是 $S$-不变子空间。 即 $TSv=STv=\lambda Sv$ 。因此 $Sv\in V_{\lambda}$ 。 > 【**7.5.3**】$\mathcal{S}$ 在 $F$ 上可以同步对角化的充要条件，是以下两则性质成立： > > 1. 每个 $T\in \mathcal{S}$ 在 $F$ 上皆可对角化。 > 2. 所有 $T,T'\in \mathcal{S}$ 都有 $TT'=T'T$ 。 必要性操演一下 $TT'v_i,T'Tv_i$ 即可。接下来说明充分性。取 $\mathcal{S}$ 的极大线性无关子集 $\{T_1,\cdots,T_k\}$，只需要在该子集上论证。 由 $k$ 归纳，在 $k\geq 2$ 时对于 $T_1$ 有 $V=\bigoplus V_{\lambda}$ 。而 $V_{\lambda}$ 是 $T_i$-不变子空间。由此定义 $T_i^{\lambda}=T_i\mid_{V_{\lambda}}\in \mathrm{End}(V_\lambda)$ 。只用说明 $T_i^{\lambda}$ 对所有 $\lambda$ 均可同步对角化，然后取直和就显然了。此时 $T_1^{\lambda}=\lambda\cdot id_{V_\lambda}$，对基的选取没有限制。所以问题只涉及 $T_{2}^{\lambda}\cdots T_{k}^{\lambda}$，由此归纳。 ## 习题 > 【**7**】对所有列向量 $v,w\in F^n$ 确定 $v\cdot {}^tw$ 的特征多项式，讨论其是否可对角化。 注意有 $\mathrm{Char}_{v\cdot {}^tw}=X^{n-1}\mathrm{Char}_{{}^tw\cdot v}$ 。记后者为 $X^{n-1}(X-\alpha)$ 。 若 $\alpha=0$，除非 $v,w$ 每项都为 $0$，则可对角化。不然由对角化定义 $0_{n\times n}=P^{-1}AP$ 可知一定不能对角化。 若 $\alpha>0$，比较 $A^2$ 和 $A\cdot (\alpha\cdot 1_{n\times n})$ 的各项系数，发现两者相等，故 $\mathrm{Min}_A\mid X(X-\alpha)$ 分裂无重根，可对角化。 > 【**11**】设 $V$ 为有限维 $\mathbb{R}$-向量空间且 $V\not={0}$ 。而 $T\in\mathrm{End}(V)$ 。证明或者 $T$ 有特征向量，或者存在 $2$ 维的 $T$-不变子空间。 若 $T$ 没有特征向量，则 $T$ 没有特征值。也就是当 $\lambda\in \mathbb{R}$ 时 $\mathrm{Char}_T(\lambda)$ 恒不为 $0$ 。由此 $\mathrm{Min}_T$ 在 $\mathbb{R}$ 上也无根。于是将 $\mathrm{Min}_T$ 写成不可约多项式的积后，每一个多项式度数都是 $\geq 2$ 的，由此多项式个数一定小于 $\dim V$，因此存在某个多项式 $p\mid \mathrm{Min}_T$ 使得 $\dim V[p]\geq 2$ 。 > 【**13**】设 $A\in \mathrm{M}_{n\times n}(F)$ 。说明若 $\mathrm{Tr}(A) = 0$ 而且 $\mathrm{char}(F) = 0$，则存在 $A' = (a'_{ij})_{i,j} \in \mathrm{M}_{n\times n}(F)$ 使得： > $$ > A\ 共轭于\ A',\quad a'_{11}=\cdots=a'_{nn}=0 > $$ 可设 $n\geq 2$，取 $v\in F^n\setminus\{0\}$ 使得 $v,Av$ 不成比例且 $Av$ 非 $0$。若取不到这样的 $v$，则说明有某个 $\lambda$ 使得 $A$ 可对角化成对角元均为 $\lambda$ 的矩阵，$\lambda\not=0$ 显然矛盾，而 $\lambda=0$ 指出 $A=0_{n\times n}$，无需讨论。 由此 $v,Av$ 非零且线性无关。将其扩充为 $F^n$ 的有序基 $\mathrm{v}$ 。记 $B=(\mathrm{v}_1\mid\cdots\mid \mathrm{v}_{n})$ 则 $B^{-1}AB$ 就是换基为 $\mathrm{v}$ 的矩阵写法。此时： $$ \begin{aligned} (B^{-1}AB)_{11}&=\sum_{i}\sum_jB^{-1}_{1i}A_{ij}B_{j1}\\ &=\sum_{i}B^{-1}_{1i}B_{i2}=0 \end{aligned} $$ 于是由此归纳进 $n-1$ 的情况即可。 > 【**17**】设 $A=(A_{11}=a,A_{22}=b)\in \mathrm{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$，其中 $a\not=b,a<0$ 。证明不存在 $B\in \mathrm{M}_{2\times 2}(\mathbb{R})$ 使得 $B^2=A$ 。 有 $\mathrm{Char}_A=(X-a)(X-b)$ 。扩域使得 $\mathrm{Char}_B$ 分裂，根为 $\lambda_1,\lambda_2$，即有 $\lambda_1^2=a,\lambda_2^2=b$ 。由此可见 $\lambda_1=i\sqrt{-a}$，由于 $\mathrm{Char}_B\in \mathbb{R}[X]$，有 $\lambda_2=-i\sqrt{-a}$ 与 $\lambda_1$ 共轭。而 $\lambda_2^2=a\not=b$ 。由此导出矛盾。 > 【**18**】证明 $\mathrm{Char}_{A^\or}=\prod_{i=1}^{n}(X-\alpha_i)$ 。其中 $\alpha_i$ 为 $\prod \lambda_j$ 忽略 $\lambda_i$ 。 由之前的结论有 $A^\or$ 可以表示为 $f(A)$（其中 $f\in F[x]$ 。参见 Cayley-Hamilton 定理的证明）。于是将 $A$ 上三角化为 $P^{-1}AP$ 有 $(P^{-1}AP)^{\or}=P^{-1}A^{\or}P$ 。只要解决 $A$ 是上三角矩阵的问题即可。此时 $A^\or$ 也是上三角的，对角元正好就是 $\alpha_i$ 。 > 【**19**】记 $A$ 为在下次对角线上为 $1$ 的矩阵，其余为 $0$ 。说明 $A$ 不可能共轭于分块对角矩阵 $B$（以任意规格方阵 $C,D$ 为对角元）。 记 $V=F^n$ 看作 $T\in\mathrm{End}(V)$ 选定基 $e_1\cdots e_n$ 。$A$ 即将 $e_i$ 映到 $e_{i-1}$（$i\geq 2$）。 现在要声明的是，不可能通过换基为 $\mathrm{v}$ 的方式，使得 $P=(\mathrm{v}_1\mid\cdot\mid\mathrm{v}_n)$ 让 $P^{-1}AP=B$ 。 即 $B$ 意为 $V$ 可被拆成两个 $T$-不变子空间的不交直和，不妨记为 $V_1,V_2$，这样 $\mathrm{v}$ 由 $V_1,V_2$ 的基得到。 而 $T$ 实际的映法是将 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 映到 $(a_2,\cdots,a_n,0)$ 。在 $V_1,V_2$ 中各取一个基元素 $v_1,v_2$，记他们最后一个非 $0$ 元为 $\alpha,\beta$，则 $\alpha\cdot\frac{\beta}{\alpha}=\beta$ 从而导出 $\frac{\beta}{\alpha}v_1,v_2$ 在各自进行有限次 $T$ 的映射后，得到相同的结果。这与 $V_1,V_2$ 不交矛盾。 > 【**21**】设 $A,B\in \mathrm{M}_{n\times n}(F)$ 。若它们的特征多项式皆分裂，且 $AB=BA$，则它们可以同步上三角化。 考察 $A$ 的特征向量满足 $Av=\lambda v$ 。由 $\{v,Bv,B^2v,\cdots\}$ 张成的空间，都是 $A$ 的 $\lambda$-特征向量。而该空间是 $B$-不变子空间，于是必然存在一个 $B$ 的特征向量位于其中。 由此 $A,B$ 一定有一个共同的特征向量 $v$。将 $V=F^{n}$ 化成 $V_1=\langle v\rangle$ 和 $V_2=V/V_1$ 后，执行上三角化的过程归纳即可。 # 八. 双线性形式 ## 8.1 双线性形式 > 【**8.1.4（典范配对）**】取 $W=V^\or$ 定义 $V^\or$ 和 $V$ 之间的典范配对为： > $$ > V^{\or}\times V\quad \Rightarrow\quad (\lambda,v)\rightarrow \lambda(v) > $$ 对此，线性映射 $T:V\rightarrow W$ 的转置 ${}^tT:W^\or\rightarrow V^\or$ 可以改写定义为： $$ \langle ^tT(\lambda),v\rangle=\lambda(Tv)=\langle \lambda,Tv\rangle $$ > 【**8.1.5**】对任意 $F$-向量空间 $V$ 和 $W$，有向量空间的同构： > $$ > \mathrm{Hom}(W,V^\or)\stackrel{\sim}\rightarrow \mathrm{Bil}(V,W;F)\\ > [w\rightarrow B(\cdot,w)]\leftarrow B\\ > \varphi\rightarrow [B(v,w)=\langle \varphi(w),v\rangle] > $$ 另一个方向亦然。如果考虑更一般的 $\mathrm{Bil}(V,W;X)$ 则将 $V^\or$ 替换为 $\mathrm{Hom}(V,X)$ 即可。论证无异。 双线性形式和矩阵等价。在 $V=F^n,W=F^m$ 下以 $B(v,w)={}^tvAw$ 构成与 $A\in\mathrm{M}_{n\times m}$ 的同构。由此，双线性形式的直和对应的矩阵，其实是各项矩阵作对角元的分块对角矩阵。 > 【**8.1.12（正交空间）**】对 $B:V\times W\rightarrow F$ 定义任何子空间 $W_0\subset W$ 的正交空间为： > $$ > {}^\perp W_0=\{v\in V:\forall w_0\in W_0,B(v,w_0)=0\} > $$ > 另一个方向有： > $$ > V_0^\perp=\{w\in W:\forall v_0\in V_0,B(v_0,w)=0\} > $$ 由双线性可以观察到 ${}^\perp W_0$ 是 $V$ 的子空间；另一方面，易得 $W_0\subset ({}^\perp W_0)^{\perp}$ 。另一方向同理。而在 $B$ 对称 / 反对称时，两侧正交空间相同，不妨统一记为 $V_0^\perp$ 。 ## 8.2 非退化形式与伴随映射 > 【**8.2.1**】定义 $B$ 的 **左根** 为 $V$ 的子空间 ${}^\perp W=\{v\in V:B(v,\cdot)=0\}$ 。另一方向同理。当 $V,W$ 均为有限维且左右根均为零空间，则称 $B$ **非退化** 。 当 $B$ 对称 / 反对称时，左右根相等。 典范配对是非退化的：对于左根，$\lambda(v)=0$ 恒成立按定义 $\lambda$ 就是 $0$ 映射。对于右根，将 $v\not=0$ 扩充为基，有 $v_1=v$，则 $\check v_1(v)=1$ 。 另一方面，根据 8.1.5 给出的同构，设 $B$ 对应到 $\psi\in\mathrm{Hom}(V,W^\or)$ 以及 $\varphi \in\mathrm{Hom}(W,V^\or)$，则 $B$ 的左根为 $\ker(\psi)$，右根为 $\ker(\varphi)$ 。当 $V,W$ 均为有限维向量空间时，易见 $B$ 非退化的必要条件是 $\dim V=\dim W$ 。 > 【**8.2.4**】在 $\dim V=\dim W$ 时，$B$ 非退化的判定只用确定一侧根为 $\{0\}$ 。 即若 $B$ 的左根为 $\{0\}$ ，有 $\psi$ 是单射。从维度的角度看，$\psi$ 是同构。设 $w\in W$ 属于右根，亦即 $\psi(v)$ 总是属于 ${}^\perp\langle w\rangle=\{\lambda\in W^\or:\lambda(w)=0\}$ 。当 $w\not=0$ 时 ${}^\perp\langle w\rangle\not=W^\or$，由 $w$ 扩充基得到对偶基可以看出。于是与同构矛盾。 对应到矩阵上，充要条件即为 $A$ 可逆。 > 【**8.2.8（伴随映射）**】考虑双线性映射 $B_i\in\mathrm{Bil}(V_i,V'_i;F)$ 其中 $i=1,2$，所有向量空间均为有限维，并假设 $B_1$ 非退化。 > > - 存在唯一线性映射： > $$ > \mathrm{Hom}(V_1,V_2)\rightarrow \mathrm{Hom}(V'_2,V'_1)\quad\Rightarrow\quad T\rightarrow T^* > $$ > 称 $T^*$ 为 $T$ 相对于 $B_1,B_2$ 的右伴随，由下式刻画： > $$ > B_2(Tv_1,v'_2)=B_1(v_1,T^*v_2') > $$ > > - 左伴随同理定义为 $^*T$ 。 固定 $v'_2$ 时，映射 $B_2(T(\cdot),v'_2)$ 给出 $V_1^\or$ 的元素。因为 $B_1$ 非退化，对应某个同构 $\psi\in\mathrm{Hom}(V'_1,V_1^\or)$ 。由此有唯一存在的 $v_1'$ 使得 $T^*$ 映 $v_2'$ 为 $v_1'$ 。 当 $B_1,B_2$ 均非退化时，易见 $({}^*T)^*=T={}^*(T^*)$ 。 上面的例子化为矩阵，有 $T^*=A_1^{-1}\cdot {}^tT\cdot A_2$ 。可以直接通过矩阵操演得到。 取 $V_1=V_2=V,V'_1=V'_2=V',T=id_V$ 得到特例：任意双线性形式 $B_2$ 和非退化双线性形式 $B_1$（当然两者都属于 $\mathrm{Bil}(V,V';F)$）都仅差一个线性映射。 伴随的行为类似转置。另一方面，对于非退化双线性形式 $B_i:V_i\times V_i\rightarrow F$ 对称 / 反对称时，总有 $T^*={}^*T$ 。这个可以通过操演 $B_2(v_2,Tv_1)=B_1(T^*v_2,v_1)$ 得到。 对于 $T\in \mathrm{End}(V)$ 和对称 / 反对称的 $B:V\times V\rightarrow F$ 。如果 $T^*=T$，则称 $T$ 是 **自伴** 的；如果 $T^*=-T$，则称 $T$ 是 **反自伴** 的。 > 【**8.2.17**】设 $B:V\times W\rightarrow F$ 非退化，则： > $$ > \dim V_0^\perp+\dim V_0=\dim V,\quad \dim {}^\perp W_0+\dim W_0=\dim W > $$ 以下给出左侧式论证。记 $d=\dim V_0,n=\dim V=\dim W$ 。取 $V_0$ 的基 $v_1,\cdots,v_d$ 。为了证明 $V_0^\perp$ 是 $n-d$ 维的，从 corner case 入手：先设 $d=n$，由此 $B$ 非退化导致 $V^\perp=\{0\}$ 。 其次设 $d=1$ 。因为 $B$ 非退化，且 $v_1\not=0$ 。故 $B(v_1,\cdot):W\rightarrow F$ 不恒为 $0$，它必然满。从而 $\langle v_1\rangle^\perp=\ker(B(v_1,\cdot))$ 的维数是 $n-1$ 。 两侧维数差为 $n-1$ 。而由 $\dim \langle v_1\rangle^\perp=n-1$ 和不等式： $$ \begin{aligned} \dim(W_1\cap W_2)&=\dim W_1+\dim W_2-\dim (W_1+W_2)\\ &\geq \dim W_1 + \dim W_2-n \end{aligned} $$ 推得 $\dim V_0^\perp$ 恰好为 $n-d$ 。由此 $V$ 有直和分解 $V_0\oplus V_0^\perp$ 。 ## 8.3 分类问题的提出 双线性形式 $B_i:V_i\times V_i\rightarrow F$ 之间的同构意为找到向量空间之间的同构 $\varphi\in\mathrm{Hom}(V_1,V_2)$ 使得 $B_2(\varphi(v),\varphi(v'))=B_1(v,v')$ 。同构继承几乎所有性质，包括左右根的映射、是否退化、对称与反对称性。 在对称 / 反对称时，记 $R(V)$ 为 $B$ 的 **根基**，我们有直和分解 $V=R(V)\oplus K$ 导致： $$ (V,B)=(R(V),0)\oplus(K,B) $$ 使得 $B$ 限制在 $K$ 上时非退化。 > 【**8.3.8（矩阵合同）**】设 $A,A'\in \mathrm{M}_{n\times n}(F)$，若存在可逆 $C\in\mathrm{M}_{n\times n}(F)$ 使得 $A={}^tCA'C$，则称 $A$ 和 $A'$ **合同** 。 以 $V_i=F^n$ 为例，$C$ 正是 $\varphi$ 。同构的两个 $(V,B)$ 分别对应 $A,A'$ 。 ## 8.4 二次型的基本概念 > 【**8.4.1（$n$ 元二次型）**】域 $F$ 上的 $n$ 元齐次二次多项式，称为 $n$ 元二次型： > $$ > f=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}X_i^2+\sum_{1\leq i<j\leq n}2a_{ij}X_iX_j > $$ 由此得到一个对称矩阵。于是 $n$ 元二次型、$n$ 阶对称矩阵、$B:F^n\times F^n\rightarrow F$ 的对称双线性形式，构成双射。 留意到 $f(v)=B(v,v)$，此后 $f(v_1+v_2)$ 可由线性拆开，即得到 $B(v_1,v_2)=\frac{1}{2}(f(v_1+v_2)-f(v_1)-f(v_2))$ 。 二次型的同构即，若令 $Y=CX$，则 $f(X)={}^tX{}^tCA'CX={}^tYA'Y=f'(Y)$ 。 ## 8.5 配方法 > 【**8.5.1（二次型的对角化）**】任何 $n$ 元二次型都同构于形如 $a_1X^{2}_1+\cdots+a_nX^2_n$ 的对角二次型。 对 $n$ 归纳。不妨设 $a_{ij}$ 不全为 $0$，不然无事可做。此时找到 $a_{ii}\not=0$，适当重排令 $a_{11}\not=0$，则： $$ f=a_{11}\left(X_1+\frac{1}{a_{11}}\sum_{j=2}^{n}a_{1j}X_j\right)^2+\sum_{2\leq i,j\leq n}a_{ij}X_iX_j-\frac{1}{a_{11}}\left(\sum_{j=2}^{n}a_{1j}X_j\right)^2 $$ 由此变量替换 $X_1$，这是可逆的。 不然，设 $i<j$ 使得 $a_{ij}\not=0$，令 $Y_i=X_i-X_j$ 和 $Y_k=X_k$ 的变量替换，由此 $Y_j^2$ 的系数恰好是 $a_{ij}\not=0$ 。 ## 8.6 实二次型的分类 若 $B(v,v)\geq 0$ 对所有 $v\in V$ 成立，则称 $B$ 是 **半正定** 的。若只有 $B(0,0)=0$，则其是 **正定** 的。由此推有 **半负定**、**负定**、**不定** 。 对规范型 $X_1+\cdot+X_p-X_{p+1}-\cdot-X_{p+q}$ 记 $p$ 为 **正惯性指数**，$q=r-p$ 为 **负惯性指数**，$p-q=2p-r$ 为 **符号差** 。 ## 习题 > 【**2**】设 $V$ 和 $W$ 是 $n$ 维 $F$-向量空间，$B:V\times W \rightarrow F$ 是非退化双线性形式。证明对于任意有序基 $w_1,\cdots,w_n\in W$，存在唯一的有序基 $v_1,\cdots,v_n\in V$ 使得 $B(v_i,w_j)=[i=j]$ 。 考虑 $B'$ 为 $W^\or\times W\rightarrow F$ 非退化。取 $T=id_W$ 可知存在唯一 $^*T$ 使得 $B'(\lambda,w)=B({}^*T\lambda,w)$ 。在 $B'$ 上有序基是唯一的，由对偶基定义给出。由此由 $^*T$ 隐射得到的 $V$ 的有序基是唯一的。 > 【**11**】考虑 $\mathbb{R}$-向量空间 $V=\mathbb{R}^n$ 及其上的二次型 $f$ 。 > > 1. 设 $f$ 可以表成 $f_+-f_-$ 。其中 $f_\pm$ 都是半正定二次型，正惯性指数分别为 $p,q$ 。证明 $f$ 的正惯性指数 $\leq p$，负惯性指数 $\leq q$ 。 > > 2. 证明若二次型 $f$ 可以表成 > $$ > f=L_1^2+\cdots+L_p^2-L_{p+1}^2-\cdots-L_{p+q}^2 > $$ > 其中 $L_1,\cdots,L_{p+q}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的一次型。则 $f$ 的正惯性指数 $\leq p$，负惯性指数 $\leq q$ 。 记 $f$ 的正惯性指数为 $p'$ 。存在 $p'$ 维子空间 $U'$ 使得 $f$ 在 $U'$ 上正定。存在 $n-p$ 维子空间 $U$ 使得 $f_+$ 在 $U$ 上半负定。假若 $p'>p$ 则说明 $U,U'$ 有非零向量交 $v$，此时 $0<f(v)\leq f_+(v)\leq 0$ 矛盾。 取 $L_1,\cdots,L_{p+q}$ 的极大线性无关组，将它们扩充为 $V$ 的基。设在 $[1,p]$ 中取出 $p'$ 个，$[p+1,p+q]$ 中取出 $q'$ 个，显然 $p'\leq p,q'\leq q$ 。此时 $f(q')<0$ 恒成立，剩下的基有 $f(\cdot)=0$ 。故正惯性指数 $\leq p'\leq p$ 。分析 $-f$ 可以得到 $f$ 的负惯性指数 $\leq q$ 。 # 九. 实内积结构 ## 9.2 内积空间 > 【**9.2.1（实内积空间）**】实向量空间 $V$ 上的 **内积** 意指正定对称双线性形式 $(\cdot|\cdot):V\times V\rightarrow \mathbb{R}$ 。称资料 $(V,(\cdot|\cdot))$ 为 **实内积空间**，本章简称 **内积空间** 。 与标准内积的情形类似，我们约定： - $v\in V$ 的长度为 $\lVert v\rVert=\sqrt{(v|v)}$ 。因此 $\lVert tv\rVert=|t|\cdot \lVert v\rVert$，其中 $t\in \mathbb{R}$ 。 - 若 $v,w\in V$ 满足 $(v|w)=0$ 则称它们 **正交**，记为 $v\perp m$ 。 > 【**9.2.2（勾股定理）**】若 $v,w$ 正交，有： > $$ > \lVert v+w\rVert^2=\lVert v\rVert^2 + \lVert w\rVert^2 > $$ 这是源于： $$ (v|w)=\frac{1}{2}(\lVert v+w\rVert^2-\lVert v\rVert^2-\lVert w\rVert^2) $$ 将双线性形式对应当矩阵 $A$，亦即 $(v|w)={}^tvAw$ 。此时 $A={}^tA$，矩阵 $A$ 称为当前有序基的 **Gram 矩阵** 。 > 【**9.2.3（Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz 不等式）**】对任意 $v,w\in V$ 皆有： > $$ > (v|w)^2\leq (v|v)(w|w) > $$ > 等式成立当且仅当 $v,w$ 线性相关。 线性相关的情形容易验证。线性无关时，$v+tw$ 对任意 $t\in \mathbb{R}$ 皆非零，于是正定性导致 $0<(v+tw|v+tw)$ 恒成立。将其展开看作关于 $t$ 的二次多项式，其无实根，故由判别式可以得出上述结论。 > 【**9.2.4（三角不等式）**】对任意 $v,w\in V$ 皆有： > $$ > \lVert v+w\rVert\leq \lVert v\rVert+\lVert w\rVert > $$ > 等号成立当且仅当存在 $t\geq 0$ 使得 $v=tw\or w=tv$ 。 $$ \begin{aligned} \lVert v+w\rVert^2&=\lVert v\rVert^2+\lVert w\rVert^2+2(v|w)\\ &\leq \lVert v\rVert^2+\lVert w\rVert^2+2|(v|w)|\\ &\leq \lVert v\rVert^2+\lVert w\rVert^2+2\lVert v\rVert\cdot\lVert w\rVert\\ \end{aligned} $$ 于是等号成立的充要条件是 $v,w$ 线性相关，且 $(v|w)\geq 0$ 。这等价于 $v,w$ 相差一个非负的比例常数。 > 【**9.2.6**】以 $\lVert w-v\rVert$ 作 $v,w$ 之间的 **距离** 。对内积空间 $(V,(\cdot|\cdot)_V)$ 和 $(W,(\cdot|\cdot)_W)$，若线性映射 $\varphi:V\rightarrow W$ 对所有 $v\in V$ 皆满足 $\lVert \varphi(v)\rVert_W=\lVert v\rVert_V$，则称 $\varphi$ **保距** 。 因为 $\varphi(v)=0$ 等价于 $\lVert \varphi(v)\rVert_W=0$，故保距映射一定单。而内积可以通过长度表达，故保距映射也保内积 $(\varphi v_1|\varphi v_2)_W=(v_1|v_2)_V$ 。 正交空间的同构，即存在一对保距线性映射左右组合皆为恒等映射。 ## 9.3 Gram-Schmidt 正交化 > 【**9.3.2**】正交向量族线性无关。 即考察正交向量组 $S$，若有线性关系 $\sum a_ss=0$ 。对每个 $t\in S$，考察 $(\sum a_ss|t)$ 均可以得到 $a_t=0$ 。 选定单位正交基，给出了有限维内积空间到 $\mathbb{R}^n$ 的标准内积的同构。 > 【**9.3.5（Gram-Schmidt 正交化）**】设 $V$ 中的一族向量 $v_1,v_2,\cdots$ 线性无关，令： > $$ > w_1=v_1,\quad w_k=v_k-\sum_{i=1}^{k-1}\frac{(v_k|w_i)}{(w_i|w_i)}\cdot w_i > $$ > 则 $w_1,w_2,\cdots$ 是正交向量族。处理过后得到单位正交基。且对于 $k\geq 1$，$w_1,\cdots,w_k$ 与 $v_1,\cdots,v_k$ 的张成空间总是相当。 ## 9.4 正交补与正交直和分解 > 【**9.4.1（正交补）**】设 $S$ 为内积空间 $V$ 的任意子集，命： > $$ > S^\perp=\{v\in V:\forall s\in S,(s|v)=0\} > $$ > 我们称 $S^\perp$ 为 $S$ 的正交补。 易见 $S^\perp$ 是子空间。 对于 $V$ 的有限维子空间 $V_0$，有直和分解 $V=V_0\oplus V_0^\perp$ 。即取 $v_1,\cdots,v_m$ 为 $V_0$ 的单位正交基，则任意 $v\in V$ 有唯一分解： $$ v=\sum_{i=1}^{m}(v_i|v)v_i+v-\sum_{i=1}^{m}(v_i|v)v_i $$ 前者可谓 $v$ 在 $V_0$ 上的 **正交投影** 。Gram-Schmidt 正交化的过程，正是将 $v_k$ 减去它在前缀张成高维空间上的正交投影，从而达成正交的效果。 > 【**9.4.6**】对于 $v\in V$，距离 $\lVert u-v\rVert,u\in V_0$ 取到最小值当且仅当 $u$ 是 $v$ 在 $V_0$ 上的正交投影。 即将 $v$ 写作 $v_0+v_1$ 分属 $V_0,V_0^\perp$ 两维的投影： $$ \lVert u-v\rVert^2=\lVert (u-v_0)-v_1\rVert^2=\lVert u-v_0\rVert^2+\lVert v_1\rVert^2\geq \lVert v_1\rVert^2 $$ 等号成立当且仅当 $u=v_0$ 。 ## 9.5 内积空间上的伴随映射和正交变换 > 【**9.5.1**】线性映射 $T:V\rightarrow W$ 是内积空间的同构，当且仅当 $T^*=T^{-1}$ 。 > 【**9.5.3（正交变换）**】有限维内积空间 $(V,(\cdot|\cdot)_V)$ 的自同构称为 $V$ 上的 **正交变换** 。 > 【**9.5.4（正交矩阵）**】对于矩阵 $A\in\mathrm{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$ 为 **正交矩阵**，以下性质等价： > > 1. ${}^tAA=1_{n\times n }$ 。 > 2. $A{}^tA=1_{n\times n }$ 。 > 3. 视作 $\mathbb{R}^n$ 到自身的线性映射，$A$ 相对于标准内积是正交变换。 由于标准内积表为 $(v,w)={}^twv$ 。将 $A$ 视同线性映射 $\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n$，其伴随映射为 $^tA$ 。而 9.5.1 说明此时 ${}^tA=A^{-1}$ 。 > 【**9.5.7（QR 分解）**】任何可逆矩阵 $A\in\mathrm{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$ 都能表作 $A=QR$ 。其中 $Q$ 是正交矩阵，$R$ 是可逆上三角矩阵。 记 $A=(v_1\mid\cdots\mid v_n)$ 。相当于存在可逆上三角矩阵 $R'$ 作 $R$ 的逆使得 $Q=AR'$ 是正交矩阵。不过 $R'$ 是自动可逆的，因为 $A,Q$ 皆可逆。只用以 Gram-Schmidt 正交化过程的系数填写 $R'$ 即可。 > 【**9.5.9（正交投影算子）**】$P\in\mathrm{End}(V)$ 是某个子空间 $V_0$ 的正交投影算子当且仅当： > $$ > P^*=P,\quad P^2=P > $$ > 此时 $V_0=\mathrm{im}(P)$ 。 对于仅当的方向，将 $v\in V$ 唯一表示成 $v_0+v_1$，则 $P^2=P$ 易于验证。而： $$ (Pv|v')=(v_0|v')=(v_0|v'_0)=(v|v'_0)=(v|Pv') $$ 说明 $P^*=P$ 。 对于当的方向。对 $v\in V$ 分解为 $v=Pu+v_1$，其中 $u\in V,v_1\in V_0^\perp$ 。则 $Pv=Pu+Pv_1$ 。而考察 $(Pv_1|Pv_1)=(P^*Pv_1|v_1)=0$，由此 $Pv_1=0$，因此 $Pv=Pu$ 。便说明了 $P$ 是向 $V_0$ 的正交投影算子。 ## 9.6 自伴算子的正交对角化 > 【**9.6.1**】设 $T\in \mathrm{End}(V)$ 而 $V_0$ 是 $V$ 的 $T$-不变子空间，则 $V_0^\perp$ 是 $T^*$-不变子空间。 即对于 $w\in V_0^\perp,v\in V_0$ 都有 $(T^*w|v)=(w|Tv)=0$ 。 > 【**9.6.2（正交对角化：自伴情形）**】设 $T\in\mathrm{End}(V)$ 自伴，则存在 $V$ 的单位正交基 $v_1,\cdots,v_n$ 使得每个 $v_i$ 都是 $T$ 的特征向量。 对 $n=\dim V$ 归纳，假设 $n\geq 2$ 。将 $T$ 看作矩阵 $A\in\mathrm{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$ 有 $A={}^tA$ 。 先认为 $A$ 有特征值 $\lambda_1\in\mathbb{R}$ 。取出对应特征向量 $v_1$ 使得 $\lVert v_1\rVert=1$（仅放缩）。考虑正交直和分解 $V=\langle v_1\rangle\oplus \langle v_1\rangle^\perp$ 。而由 $T$ 自伴，$T$ 在 $\langle v_1\rangle,\langle v_1\rangle^\perp$ 上均不变！由此导出对角化。 以矩阵语言表达。即取单位正交基 $v_1,\cdots,v_n$ 为列向量的矩阵 $P$，则 $P$ 是正交矩阵。定理的结论相当于给出矩阵对角化：$P^{-1}AP$ 其中 $^tP=P^{-1}$ 。 > 【**9.6.4**】设 $A\in \mathrm{M}_{n\times n}(\mathbb{C})$ 满足 ${}^\dagger A=cA$，其中 $c\in\mathbb{C}$ 。则 $A$ 的所有特征值 $\lambda\in \mathbb{C}$ 都满足 $\overline{\lambda}=c\lambda$ 。 设 $v$ 是以 $\lambda$ 为特征值的特征向量。对 ${}^\dagger v\cdot(Av)=\lambda\cdot({}^\dagger vv)$ 两边取 $^\dagger(\cdots)$ 。左侧给出 $c\lambda({}^\dagger v v)$，右侧给出 $\overline{\lambda}({}^\dagger vv)$ 。 故此说明扩域至 $\mathbb{C}$ 时，由 $c=1$ 导出自伴矩阵的所有特征值均 $\in\mathbb{R}$ 。 在 $(V,(\cdot|\cdot))$ 上与二次型 $(V,B)$，能找到 $V$ 的单位正交基 $v_1,\cdots,v_n$ 使得 $B$ 对应的对称矩阵 $B(v_i,v_j)$ 是对角矩阵：将 $B$ 等同于矩阵 $A$，在内积空间上将 $A$ 正交对角化后讨论系数即可。 ## 习题 > 【**1**】考虑配备标准内积的 $\mathbb{R}^n$ 。对有序基 $v_1,\cdots,v_n\in \mathbb{R}^n$ 取其 Gram 矩阵 $A$ 。证明 $\{\sum t_iv_i:\forall i,t_i\in[0,1]\}$ 的体积是 $\sqrt{\det A}$ 。 从标准内积到 $v$ 的基为内积空间的同构，其矩阵形式是 $P=(v_1\mid\cdots\mid v_n)$ 。即以映为 $(v|w)=Pv\cdot Pw={}^tv{}^tPPw$ 。故 $A={}^tPP$ 而所求为 $|\det P|$ 。 > 【**3**】实对称正定矩阵的逆仍然是实对称正定矩阵。 进行正交对角化 $^tCAC=D$ 后两侧取逆 ${}^tCA^{-1}C=D^{-1}$ 对角元仍然正。 > 【**5**】证明 $n$ 阶实对称矩阵 $A_{ij}=\min\{i,j\}$ 正定。 以 Sylvester 判准，求每个顺序主子式时，直接消元成上三角从而导出行列式 $>0$ 。 # 往年期末 ## 21 期末 > 【**1**】设 $A\in\mathrm{M}_{n\times n}(\mathbb{C})$ 满足 $A^2=A$ 。证明 $A$ 的迹等于 $A$ 的秩。 即 $x(x-1)$ 是令 $A$ 归零的多项式，故 $\mathrm{Min}_T(A)\mid x(x-1)$ 。 若 $\mathrm{Min}_T(A)=x(x-1)$，则 $A$ 可上三角化为 $\begin{pmatrix}0& *\\&1\end{pmatrix}$ ，秩和迹均为 $1$ ；若 $\mathrm{Min}_T(A)=x$，则 $A$ 为零矩阵，自然成立；$\mathrm{Min}_T(A)=x-1$ 不存在，剩下的情况即 $A$ 为 $1_{2\times2}$，自然成立。 > 【**3**】设 $A\in \mathrm{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$，证明 ${}^tAA$ 在 $\mathbb{C}$ 中的特征值都是非负实数。 注意 ${}^t({}^tAA)={}^tAA$ 。故 ${}^tAA$ 是实对称矩阵。可选出 $\mathbb{R}^n$ 的单位正交基 $v_1,\cdots,v_n$ 均为 ${}^tAA$ 的特征向量，作正交对角化。由于系数均在 $\mathbb{R}$ 中，因此对角元都是实数。 非负等价位 ${}^tAA$ 半正定。即对任何 $v$ 有 ${}^tv{}^tAAv\geq 0$ 。 > 【**7**】设 $A,B\in\mathrm{M}_{n\times n}(\mathbb{R})$，$B$ 是对称矩阵，$k\in\mathbb{Z}_{\geq 1}$ 是奇数。证明如果 $AB^k=B^kA$ 则 $AB=BA$ 。 $B$ 可对角化。任何使 $B$ 对角化的 $P$ 都能使 $B^k$ 对角化。 $B^k$ 可对角化。对任何 $B^k$ 的特征值 $\lambda,v$ 有 $B^kv=\lambda v$ 故 $Bv=\lambda^{\frac{1}{k}}v$ 。由于 $k$ 是奇数，定义是良性的。故任何使 $B^k$ 对角化的 $P$ 都能使 $B$ 对角化。 在 $\mathbb{C}$ 上，$A,B^k$ 可同步对角化。用同样的矩阵，也可以对角化 $B$ 。从而 $AB=BA$ 。 ## 22 期末 A > 【**1**】设 $A$ 是 $n\times n$ 整系数矩阵。说明 $A$ 可逆而且 $A^{−1}$ 也是整系数矩阵的充要条件是 $\det A=\pm1$ 。 充分由 Cramer 法则。必要由 $\det(A)=1/\det(A^{-1})$ 。 ## 其他题 > 正定矩阵对角元 $1$ 行列式 $1$ 。 用 trace 比较。