小数学题
JHR100330
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个人记录
已知 x^2+y^2=1，求 (x+1)(y+2) 的最大值。
不妨设 x = \sin t,y = \cos t，即求 (\sin t + 1)(\cos t + 2) 的最大值。
令 f(t) = (\sin t + 1)(\cos t + 2)。
可得 f'(t) = \cos^2 t + 2 \cos t - \sin^2 t - \sin t。
令其为 0，即 \cos^2 t + 2 \cos t - \sin^2 t - \sin t = 0。
解得：
t_0 = 2 \arctan \Bigg [ \frac{1}{3} \bigg (\sqrt[3]{62+6 \sqrt{183}} - \frac{7\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{31+3\sqrt{183}}} - 1 \bigg ) \Bigg ]
为函数最大值对应点。
故原式的最大值即为：
\begin{aligned}
f(t_0) &= f \Bigg (2 \arctan \Bigg [ \frac{1}{3} \bigg (\sqrt[3]{62+6 \sqrt{183}} - \frac{7\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{31+3\sqrt{183}}} - 1 \bigg ) \Bigg ] \Bigg ) \\
&= \frac{1}{48}\Big( 96 + \sqrt[3]{297216 - 11712\sqrt{183}} + 4\sqrt[3]{4644+183\sqrt{183}} \Big)
\end{aligned}