高中数学课笔记

ZMQ_Ink6556 · 2024-12-23 18:25:32 · 学习·文化课

2024.12.23 集合

符号语言

集合：a \in A。其中 a 是元素，A 是集合。\in 读作属于。
空集：\varnothing。不含任何元素的集合。

集合性质

确定性。
互异性。
无序性。

特殊集合

自然数：\boldsymbol{N}
- 正整数：\boldsymbol{N_{+}}
整数：\boldsymbol{Z}
有理数：\boldsymbol{Q}
实数：\boldsymbol{R}

------分割线------

有限集：有限个元素。
无限集：无限个元素。
空集属于有限集。

表示方法

列举法

A = \{\boldsymbol{\texttt{元素}_1} , \boldsymbol{\texttt{元素}_2} , \boldsymbol{\texttt{元素}_3} , \cdots\}

描述法

A = \{\boldsymbol{\texttt{元素}} | \boldsymbol{\texttt{条件}_{1}} , \boldsymbol{\texttt{条件}_{2}} , \cdots \}

列举/描述法示例

列举法：N = \{0 , 1 , 2 , 3 , \dots\}
描述法：Q = \{x | x = \frac{q}{p} , p \in \boldsymbol{Z} , q \in \boldsymbol{Z}\}

基本关系

包含

任意 a \in A，都有 a \in B：

A \subseteq B$：$A$ 包含于 $B
B \supseteq A$：$B$ 包含 $A

A \subseteq B , B \subseteq A \iff A = B

无限集也有包含关系！

特殊情况

A \subseteq A
\varnothing \subseteq A

真包含

任意 $a \in A$，都有 $a \in B$。存在 $b \in B$，满足 $b \not\in A$。则称 $A$ 真包含于 $B$，即 $A \subsetneqq B$。 ### 区间 - $\{x | a \le x \le b\} = [a , b]$。 - 闭区间。 - $\{x | a < x < b\} = (a , b)$。 - 开区间。 - $\{x | a \le x < b\} = [a , b)$。 - 左闭右开。 - $\{x | a < x \le b\} = (a , b]$。 - 左开右闭。至少一端无穷的区间： - $\{x | x \le b\} = (-\infty , b]$。 - $\{x | a \le x\} = [a , \infty)$。 - $\boldsymbol{R} = (-\infty , \infty)$。 ### 韦恩图 ~~维恩图~~ ![pic](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/os3tlivw.png) $C \subsetneqq B,B \subsetneqq A \implies C \subsetneqq A

集合基本运算

- $A \cap B = \{x | x \in A \land x \in B\}

- $A \cup B = \{x | x \in A \lor x \in B\}

集合基本运算交换律

交集

A \cap B = B \cup A
A \cap A = A
A \cap \varnothing = A
若 A \subseteq B，则 A \cap B = A
A \cap B \cap C = A \cap C \cap B = B \cap A \cap C = B \cap C \cap A = C \cap A \cap B = C \cap B \cap A

并集

A \cup B = B \cup A
A \cup A = A
A \cup \varnothing = A
若 A \subseteq B，则 A \cup B = B
A \cup B \cup C = A \cup C \cup B = B \cup A \cup C = B \cup C \cup A = C \cup A \cup B = C \cup B \cup A

补集

\complement_{U} A = {x | x \in U , x \not\in A}

\complement_{U} A \cap A = \varnothing
\complement_{U} A \cup A = U
\complement_{U} (\complement_{U} A) = A

今日份闲话

- 正确答案：$\{0 , 1\}$。 - Answer$1$：$\{x | x(x - 1) = 0\}$。 - Answer$2$：$\{x | x = 0 \lor x = 1\}$。 ## $2024.12.25$ 常用逻辑用语 ### 命题可以判断真假 $+$ 陈述句。命题是**基于集合**的。 ### 量词全称量词： - 任意 - 每一个 - 所有的 - 存在存在量词： - 至少有一个 - 有 ------ - 任意：$\forall$。 - 存在：$\exist$。 - 存在且唯一：$\exist{1}$。 ------ - $\forall$：全真才真、一假就假。 - $\exist$：一真就真、全假才假。 ### 量词命题 $p(x)：\text{条件}$。 - 例 $1$： - 任意给定实数 $x$，$x^2 \ge 0$。 - $\forall x \in \boldsymbol{R} , x^2 \ge 0$。 - 例 $2$： - 存在有理数 $x$，使得 $3x - 2 = 0$。 - $\exist x \in Q$ 使 $3x - 2 = 0$。 ### 否定命题命题 $P$ `-->` 否定命题 $\lnot P$。 - 若 $P$ 为真，则 $\lnot P$ 为假，否则 $\lnot P$ 为真。 - $\forall x \in M , P(x)$ `-->` 否定 $\exist x \in M , \lnot P(x)$。 - $\exist x \in M , P(x)$ `-->` 否定 $\forall x \in M , \lnot P(x)$。 ### 命题与集合 $$A = \{x | P(x)\}$$ 使 $P(x)$ 成立的所有的 $x$ 组成的集合。所有使 $P(x)$ 成立的 $x$ 都叫做 $P(x)$ 的真值。 ### 充分条件/必要条件如果 $p$，那么 $q$。\ 记作 $p \implies q$。\ $p$ 是 $q$ 的**充分**条件。\ $q$ 是 $p$ 的**必要**条件。如果 $p$ 是 $q$ 的**充分**条件、$q$ 是 $p$ 的**必要**条件。$A = \{x | p(x)\} , B = \{x | q(x)\}$，那么 $A \subseteq B$。 ![pic](https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/sfz87ijz.png) ### 逆否命题 $p \implies q$ 相当于 $\lnot q \implies \lnot p$。 - 原命题为真，逆否命题为真。 - 原命题为假，逆否命题为假。 - 例 $1$： - **原**命题：如果 $x > 3$，那么 $x^2 > 9$。 - **逆**命题：如果 $x^2 > 9$，那么 $x > 3$。 - **逆否**命题：如果 $x^2 \le 9$，则 $x \le 3$。 - 例 $2$： - **原**命题：如果 $|x| > 3$，那么 $x^2 > 9$。 - **逆**命题：如果 $x^2 > 9$，那么 $|x| > 3$。 - **逆**否命题：如果 $x^2 \le 9$，则 $|x| \le 3$。 ### 充要条件若 $p \implies q$，且 $q \implies p$，那么 $p \iff q$、$q \iff p$。读作 $p$ 是 $q$ 的**充要**条件。 $p \iff q$ 等价于 $q \iff p$。 - 所有**判定**都是**充分条件**。 - 所有**性质**都是**必要条件**。 - 所有**定义**都是**充要条件**。 ## $2024.12.25$ 等式 ### 等式与不等式 - 用等号（$=$）连接的式子叫做**等式**。 - 用不等号（$\neq$ 等）连接的式子叫做**不等式**。 ### 恒等式推出类似公式。 $(a + b) = a^2 + 2 \times a \times b + b^2$。令 $b = -b$，则 $(a - b) = a^2 - 2 \times a \times b + b^2$。 ## $2024.12.27$ 一元二次方程 ### 解法 - 十字相乘。 - 配方。 - 公式。例 $1$：$x^2 + 6 \times x + 8

十字相乘：(x + 2) \times (x + 4) = 0
公式法：\frac{-6 \pm \sqrt{6^2-4 \times 1 \times 8}}{2}
配方法：(x + 3)^2 - 1 = 0 答案：x = -2 或 -4。

一元二次方程的解集

单个元素：x \in \{2 , 3\}。
多个元素：(x,y) \in \{(1 , 2) , (2 , 1)\}、(a , b , c) \in \{(1 , 2 , 3) , (3 , 2 , 1) , (2 , 3 , 1)\}。

n 元一次方程

唯一解

本质不同的方程个数 = n。

多解的表示法

剩余 n - 本质不同的方程个数个未知元。

例 1：

\begin{cases}x + 2y + 2z = 5\\x - y + 2z = 2\end{cases}

\{(x , y , z) | x = 3 - 2z , y = 1 , z \in \boldsymbol{R}\}

一元二次方程解集及其根与性质的关系

ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)

\Delta = b^2 - 4 \times a \times c
- \Delta > 0$：$\{\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2\times a} , \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2\times a}\}
- \Delta = 0$：$\{\frac{-b}{2 \times a}\}
- \Delta < 0$：$\varnothing

韦达定理：x_1 \times x_2 =\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2\times a} \times \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2\times a} = \frac{b^2 - \Delta}{4 \times a^2} = \frac{b^2 - b^2 - 4 \times a \times c}{4 \times a^2} = \frac{c}{a}

求一元二次方程的变种

例 1：求 x - 2 \sqrt{x} - 1 = 0 的解集
- 解：令 \sqrt{x} = t (t \ge 0)，则 x = t^2
- 原方程变为 t^2 - 2t - 1 = 0
- x = t^2 = (1 + \sqrt{2})^2 = 3 + 2 \sqrt{2}
例 2：求 x^4 - x^2 - 2 = 0 的解集
- 解：令 x^2 = t (t \ge 0)，则 x = \pm \sqrt{t}
- 原方程变为 t^2 - t - 2 = 0
- x = \{- \sqrt{2} , \sqrt{2}\}

不等式性质的推论

若 a > b , \forall c \in \boldsymbol{R} \implies a \pm c > b \pm c。
若 a > b , \forall c \in(0 , +\infty) \implies ac > bc , \frac{a}{c} > \frac{b}{c}。
若 a > b , \forall c \in(-\infty , 0) \implies ac < bc , \frac{a}{c} < \frac{b}{c}。
a > b , b > c \implies a > c
a + b > c \implies a > c - b
a > b , c > d \implies a + c > b + d
a > b > 0 , c > d > 0$ 时 $\implies ac > bd
若 a > b > 0，那么 a^n > b^n(n \in \boldsymbol{N_{+}})。
若 a > b > 0，则 \sqrt{a} > \sqrt{b}。

反证法

已知 p，要证 q。
证明：假设 q 不成立（\lnot q 成立）
\cdots\ \!\cdots

证明 a < b 问题

基本方法

作差法：a - b < 0。
作商法：\frac{a}{b} < 1。

其他做法

分析法：若证 \cdots \ \! \cdots 只需证 \cdots \ \! \cdots

例 1：

证明 \sqrt{3} + \sqrt{7} < 2 \sqrt{5}。
证明：若证 \sqrt{3} + \sqrt{7} < 2 \sqrt{5} \bigcirc \ \!\!\!\!\!\! 1
只需证 3 + 7 + 2\sqrt{21} < 20 \bigcirc \ \!\!\!\!\!\! 2
即只需证 \sqrt{21} < 5 \bigcirc \ \!\!\!\!\!\! 3
即只需证 21 < 25，自然成立。\bigcirc \ \!\!\!\!\!\! 4
\bigcirc \ \!\!\!\!\!\! 4 \implies \bigcirc \ \!\!\!\!\!\! 3 \implies \bigcirc \ \!\!\!\!\!\! 2 \implies \bigcirc \ \!\!\!\!\!\! 1

今日份闲话

如果你看到了这里，请立刻新建洛谷云剪切板，输入且仅输入 LSPaintBoard-2025 ，并且将链接使用洛谷私信发给我，感谢。

如果你第一次来到这里是 2025/2/1 之后，请无视上面的话。

2025.1.12 求解一元二次不等式

不等式的解集

例 1 一次不等：2 \times x + 1 > 5 \iff 2 \times x > 4 \iff x > 2
- 解集：集合 \{x | x > 2\}

不等式组的解集

\begin{cases}2x + 1\ge 0 \iff 2x \ge -1 \iff x \ge -\frac{1}{2}\\\frac{x}{3} - 2 > 2x + 3 \iff \frac{5}{3} x < -5 \iff x < -3\end{cases}

解集为 \varnothing。

绝对值方程

平方法：

|x| \ge 3\\x^2 \ge 9\\x^2 - 9 \ge 0 \\(x - 3)(x + 3) \ge 0\\x > 3 \text{或} x < -3

去绝对值符号：

|x| \ge 3\\x > 3 \text{或}x < -3

画图法（利用数轴）：

\{x | -\frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{2}\}

含有参数的不等式

2x + a > 0 \iff 2x > -a \iff x > -\frac{a}{2}\\\{x | x > -\frac{a}{2}\}

分类讨论：

+ 当 $a = 0$ 时，原不等式无解。 + 当 $a > 0$ 时，$ax > 1 \iff x > \frac{1}{a}$。 + 当 $a < 0$ 时，$ax > 1 \iff x < \frac{1}{a}$。
+ 当 $a = 0$ 时，原不等式的解集为 $\varnothing$。 + 当 $a > 0$ 时，原不等式的解集为 $\{x | x > \frac{1}{a}\}$。 + 当 $a < 0$ 时，原不等式的解集为 $\{x | x < \frac{1}{a}\}$。 ### 注意事项
不等式两边同乘一个负数要变换不等号方向。
开平方、绝对值等要考虑正负两种情况。
答案要写成集合形式。

一元二次不等式

ax^2 + bx + c > 0(a \neq 0)

一元二次不等式的解法

转换为绝对值：x^2 > 2 \iff |x|^2 > 2 \iff |x| > \sqrt{2}。
分解因式：x^2 - 4 > 0 \iff (x + 2)(x - 2) > 0 \iff \begin{cases} x + 2 > 0 \\x - 2 > 0 \end{cases} \text{或} \begin{cases} x + 2 < 0 \\x - 2 < 0 \end{cases} \iff x > 2 \text{或} x < -2

大于两边分，小于中间夹。

若 \Delta = b^2 - 4ac < 0：
若 \Delta = b^2 - 4ac \ge 0：

分式方程同乘分母时要分类讨论（正负、不为 0）。

若 \frac{A}{B} > 0 \iff AB > 0 \iff (x + 1)(x - 1) > 0 \iff x > 1 \text{或} x < -1

2025.01.12 均值不等式

当 a , b \in \boldsymbol{R_{+}} 时 a + b \ge 2\sqrt{ab}。

当 a , b \in \boldsymbol{R} 时，a^2 + b^2 \ge 2ab。

当 a , b \in \boldsymbol{R} 时，\frac{a^2 + b^2}{2} \ge ab。

推导

\forall a , b \in \boldsymbol{R_{+}}

a > 0 , b > 0 \iff (a - b)^2 \ge 0 \iff a^2 + b^2 - 2ab \ge 0 \iff a^2 + b^2 \ge 2ab

(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0 \iff (\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2 - 2\sqrt{ab} \ge 0 \iff a + b \ge 2 \sqrt{a , b}

务必检验能不能取等号

当且仅当 a = b 时取等。

2025.01.13 函数

变量

集合与函数的关系

集合：

x$ 变化范围 $A
y$ 变化范围 $B

两个非空实集 A、B 对应关系 f。

对于 \forall x \in A，\exist 1\ y \in B 与之对应。

则称 f 为定义在集合 A 上的一个函数，记作 y = f(x), x \in A。

定义域：A\ 值域：\{y \in B | y = f(x),x \in A\} \subseteq B

例 1：
- f(x) = x + 2, x \in \boldsymbol{R}
例 2：
- f(x) = 2 \times \sqrt{x} + \frac{1}{x}, x \in \boldsymbol{R}(x \neq 0)

函数三要素：定义域、对应关系、值域。

定义域和对应关系都相同，函数才相同。

函数的表示方法

列表法
- 自变量在上面，因变量在下面
图像法
解析式法

解函数题目

例 1：
- 已知 f(x - 1) = x^2，求 f(x)
- f(x - 1) = (x - 1)^2 + 2(x - 1) + 1
- f(x) = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2
例 2：
- 已知 f(x) = (x - 1)^2，求 f(x + 1)
- f(x + 1) = ((x + 1) - 1)^2 = x^2
  例 3：
- 已知 f(x + 1) = (x - 1) ^ 2，求 f(x)
- f(x + 1) = x^2 - 2x + 1
- f(x + 1) = (x + 1)^2 - 4x = (x + 1)^2 - 4(x + 1) + 4
- f(x) = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2

2025.01.14 函数

增减函数

例 1：
- 求证函数 f(x) = -2x 在 \boldsymbol{R} 上是减函数。
- 证明：任取 x_1 , x_2 \in \boldsymbol{R}，且 x1 < x2 时，x2 - x1 > 0。
- f(x_1) - f(x_2) = -2x_1 + 2x_2 2(x_2 - x_1) > 0
- 所以 f(x_1) > f(x_2)
- 所以 f(x) = -2x 在 \boldsymbol{R} 上单调递减。

函数最值

例 1：
- 求 f(x) = x^2 + 3x + 1 在 [-\frac{3}{2} , + \infty) 上的单调性。
- 证明：任取 x_1 , x_2 \in [-\frac{3}{2} , + \infty) 且 x_1 < x_2，x_1 + x_2 + 3 > 0，x_1 - x_2 < 0。
- f(x_1) - f(x_2) = x_1^2 + 3x_1 - x_2^2 - 3x_2
- = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) + 3(x_1 - x_2)
- = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2 + 3) < 0$ 且 $-3 < x_1 - x_2 < 0
- 所以 f(x) 在 [-\frac{3}{2} , +\infty) 上单调递增。
例 2：
- 求 f(x) = 2x^2 + 6 , x \in [-5 , 3] 的单调区间和函数最值。
- 证明：任取 x_1 , x_2 \in [-5 , -\frac{3}{2}] , x_1 < x_2
- f(x_1) - f(x_2) = 2(x_1 - x_2)(x_1 + x_2 + 3) > 0
- f(x_1) > f(x_2)
- 所以 f(x) 在 [-5 , -\frac{3}{2}] 上单调递减。
- 任取 x_1 , x_2 \in (\frac{3}{2} , 3] , x_1 < x_2
- f(x_1) < f(x_2)
- 所以 f(x) 在 (\frac{3}{2} , 3] 上单调递增。
- f(x)_{\min} = f(-\frac{3}{2}) = -\frac{9}{2}
- f(x)_{\max} = f(3) = 36

平均变化率

\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}

例 1：
- 求 f(x) = \frac{1}{x} 在 (-\infty , 0) 上的单调性。
- 证明：任取 x_1 , x_2 \in (-\infty , 0) 且 x_1 \ge x_2 , x_1 > x_2
- 则 f(x_1) = \frac{1}{x_1} , f(x_2) = \frac{1}{x_2}
- f(x_1) < f(x_2)
- 所以 f(x) 在 (-\infty , 0) 上单调递减。

函数的奇偶性

对称点：

(x , y)$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $(x , -y)
(x , y)$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $(-x , y)
(x , y)$ 关于原点的对称点为 $(-x , -y)

偶函数

一般地，设函数 y = f(x) 的定义域是 D，若 \forall x \in D，且 f(-x) = f(x)，则称 y = f(x) 是偶函数。

若 (x , y) 在图像上，则 (-x , y) 也在图像上。
定义域 D 关于原点对称。
函数图像关于 y 轴对称。

偶函数 \iff 函数图像关于 y 轴对称。

奇函数

一般地，设函数 y = f(x) 的定义域是 D，若 \forall x \in D，且 f(-x) = -f(x)，则称 y = f(x) 是奇函数。

若 (x , y) 在图像上，则 (-x , -y) 也在图像上。
定义域 D 关于原点对称。
函数图像关于原点对称。

偶函数 \iff 函数图像关于原点对称。

奇偶关系

奇函数 + 奇函数 = 奇函数
偶函数 + 偶函数 = 偶函数
奇函数 \times 奇函数 = 偶函数
偶函数 \times 偶函数 = 偶函数

2025.01.15 研究函数

研究函数的方法

定义域
值域
奇偶性
单调性
取几个关键点

2025.01.15 函数的零点

零点的存在性定理

如果 y = f(x) 在 [a , b] 上图像是连续不断的，且 f(a) \times f(b) < 0，则 f(x) 在 (a , b) 中至少有 1 个零点。

例 1：
- 求证 f(x) = x^3 - 2x + 2 中至少有 1 个零点
- f(-2) = -2
- f(0) = 2
- f(-2) \times f(0) < 0
- 所以 f(x) = x^3 - 2x + 2 中至少有 1 个零点。

今日份闲话：AK 必修一！

2025.05.06 指数函数

实数指数幂及其运算

a^m(m < 0) = \frac{1}{a^{|m|}}
(a^m)^n = (a^n)^m = a^{mn}
ab^m = a^m b^m
a^m a^n = a^{m + n}
a^2 = 9 \iff a = \pm 3
\sqrt{a} = b(a \ge 0 , b \ge 0)
+ 当 $n$ 为偶数：$a \ge 0$。 + 当 $n$ 为偶数：$a \in \boldsymbol{R}
当 \sqrt[n]{a} 有意义时：\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}

例 1：求证：如果 a > b > 0，n 是大于 1 的自然数，那么 a^{\frac{1}{n}} > b^{\frac{1}{n}}

假设 a^{\frac{1}{n}} \le b^{\frac{1}{n}}，即 a^{\frac{1}{n}} < b^{\frac{1}{n}} 或 a^{\frac{1}{n}} = b^{\frac{1}{n}}。
根据不等式的性质与根式的性质，得 a < b 或 a = b。
与 a > b 矛盾。
因此假设不成立。
得证。

例 2：计算 \frac{\sqrt[3]{\sqrt{3^{10}}}}{\sqrt[3]{9}}：

\frac{\sqrt[3]{\sqrt{3^{10}}}}{\sqrt[3]{9}} = \frac{(\sqrt{3^{10}}^\frac{1}{3})}{9^{\frac{1}{3}}} = \frac{(3^5)^{\frac{1}{3}}}{(3^2)^{\frac{1}{3}}} = \frac{3^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{2}{3}}} = 3^1 = 3

无理数作指数

y = a^x(a \ge 0 \texttt{ 且 } a \neq 1)

定义域 (-\infty , \infty)，值域 (0 , \infty)。
必过 (0 , 1)。

例 1：判断大小：

0.8^{-0.1} < 0.8^{-0.2}
2.5^{a} < 2.5^{a + 1}

例 2，已知 (\frac{3}{7})^a < (\frac{3}{7})^b，比较 6^a 和 6^b。

a > b
6^a > 6^b

2025.05.08 对数函数

对数

a^b = N(a > 0 \texttt{ 且 } a \neq 1)

定义：b 为以 a 为底 N 的对数，记为 b = \log_a N。

当 a = 10 时：b = \log_{10} N = \lg n（常用对数）。
当 a = e 时：b = \log_e N = \ln N（自然对数）。

对数的运算

\log_a (m \times n) = \log_a M + \log_a N
a^b = N, b = \log_a N \implies a^b = a^{log_a N}
\log_a M^b = b \log_a M
\log_a \frac{M}{N} = \log_a m - \log_a N
\log_a b = \frac{\log_m b}{\log_m a}
\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b

对数函数

y = f(x) = \log_a x(a > 0 \texttt{ 且 } a \neq 1)

定义域：(0 , +\infty)。
值域：(-\infty , +\infty)。
过定点：(1 , 0)。
单调性：

2025.05.10 函数行性质

复合函数

内外层函数单调性一致：单调递增。
内外层函数单调性不一致：单调递减。

凹凸性

设 x_1 , x_2 \in \boldsymbol{R} 且 x_1 \neq x_2：

若 f(x_1) + f(x_2) > f(x_1 + x_2) 则函数是凸函数。
若 f(x_1) + f(x_2) < f(x_1 + x_2) 则函数是凹函数。
若 f(x_1) + f(x_2) = f(x_1 + x_2) 则函数是一次函数。
运用在函数中的一段上同理。

单调性

已知 f(x) 为定义在 \boldsymbol{R} 上的奇函数，且当 x > 0 时，f(x) = \log_{\frac{1}{2}}{x}。

例 1：求 x < 0 时，f(x) 的解析式。
- 令 x < 0，则 -x > 0。
- 因为 f(x) 是奇函数。
- 所以 f(- x) = -\log_{\frac{1}{2}}(-x)。
求不等式 f(x) \le 2 的解集。
- f(x) = \log_{\frac{1}{2}}x\ (0 < x \le 2)\ \cup\ -\log_{\frac{1}{2}}(-x)\ (x < 0)

20250520 幂函数

y=kx^a

20250520 平面向量及其线性运算

向量是什么

向量：\overrightarrow{A\ \ B} 或 \vec{a}。

方向：\overrightarrow{A\ \ B} 或 \vec{a}。
长度：|\overrightarrow{A\ \ B}| 或 |\vec{a}|（一个向量的模）。
有方向的线段 = 矢量、位移、向量。
无方向的线段 = 标量、路程。

特殊向量：\vec{0} 和 0 有很大区别，但是 |\vec{0}| = 0。

方向相关

若向量 a , b 方向相同且长度相同，则 \vec{a} = \vec{b}。
若向量 a , b 方向相同或相反但是 a 的长度是 b 的 \lambda 倍，则 \vec{a} = \lambda \vec{b}（若 \lambda 为正数则方向相同，若 \lambda 为负数则方向相反，若 \lambda = 0 则 \vec{a} = \vec{0}）。
若 \vec{a} 和 \vec{b} 方向相同或相反，则 \vec{a} 和 \vec{b} 平行或共线。

20250520 向量的加法

若 $\overrightarrow{A\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\overrightarrow{\ \ \ \ \ \ \ \ B}$ 则 $\overrightarrow{AB} = \vec{a} + \vec{b}

\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}

\begin{cases}|\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BC}| > \overrightarrow{AC}\texttt{（B 不在 AC 上）}\\|\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{AC}|\texttt{（B 在 AC 上）}\end{cases}

\texttt{所以 \ \ } |\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BC}| \ge |\overrightarrow{AC}|

向量减法

同一个起点的两个向量相减，指向被减数。

\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}

向量乘法

$$\texttt{数乘运算： \ }\frac{\lambda \vec{a}}{\Delta}+\mu \vec{b}$$ ## $20250524$ 向量的基本定理与向量的坐标 ### 共线向量的基本定理 - 满足 $\vec{a} = \lambda \vec{b}$（$\vec{b}$ 为非 $\vec{0}$，$\vec{a} // \vec{b}$），则 $\lambda$ 唯一。 - 若 $\vec{a} = \lambda \vec{b}$，且 $\lambda \neq 0$，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 一定共线。 - 若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，且 $\vec{b}$ 为非 $\vec{0}$，则 $\lambda$ 唯一。 ### 平面向量的基本定理 - $x$ 轴单位向量：$\vec{i}

y$ 轴单位向量：$\vec{j}
如果平面内两个向量 \vec{a} 与 \vec{b} 不共线，则对该平面内任意一个向量 \vec{c}，存在唯一的实数对 (x , y)，使得 \vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}。
基底：\{\vec{a} , \vec{b}\}（不共线）。
基底 \{\vec{a} , \vec{b}\} 的分界式：\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}

例 1：已知 \vec{a} 与 \vec{b} 不共线，而且 \vec{a} - x \vec{b} 与 3\vec{a} + 2\vec{b} 共线，求 x 的值。

因为 \vec{a} 与 \vec{b} 不共线，所以

2025.06.02 向量的坐标

\overrightarrow{OA} = (x_1 , y_1)

\overrightarrow{OB} = (x_2 , y_2)

|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}

|\overrightarrow{OB}| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2}

表示 A 点坐标为 (x_1 , y_1)，B 点坐标为 (x_2 , y_2)。

中点坐标公式：|\overrightarrow{OD}| = \sqrt{(\frac{x_1 + x_2}{2})^2 + (\frac{y_1+y_2}{2})^2}，\overrightarrow{OD} = (\frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2})。

y = kx + b , k = \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

\overrightarrow{OA} = (x_1 , y_1) \implies k = \frac{y_1}{x_1}

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \times x_2 + y_1 \times y_2 = |\vec{a}| \times |\vec{b}| \cos \alpha$$ $$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \times |\vec{b}}|$$