线性代数
syxmz
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2025-03-18 14:01:20
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线性代数
1 行列式
1.1 n 阶行列式
定义 1.1.1 ：称以下的式子为一个 n 阶行列式
\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
a_{11}& a_{12}&\cdots&a_{1n}
\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}
\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots
\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}
\end{vmatrix}
其中第 i 行第 j 列的元素成为行列式 \begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix} 的第 (i,j) 元素。
元素 a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn} 称为 \begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix} 的主对角线。
性质 1 ：上三角行列式的值等于其对角线元素之和。
性质 2 ：行列式某行（列）全为零，则行列式的值等于零。
性质 3 ：用常数 c 乘以行列式的某一行（列），得到的行列式的值等于原行列式的值的 c 倍。
性质 4 ：交换行列式不同的两行（列），行列式的值变号。
性质 5 ：若行列式两行（列）成比例，则行列式的值为零。
性质 6 ：若行列式中某行（列）元素均为两项之和，则行列式可表示为两个行列式之和。
性质 7 ：行列式的某一行（列）乘以某个数加到另一行（列）上，行列式的值不变。
性质 8 ：行列式和其转置有相同的值。
定义 1.1.2 ：定义元素 a_{ij} 的余子式 M_{ij} 为由其行列式 \begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix} 中划去第 i 行第 j 列后剩下的元素组成的行列式。
定义 1.1.3 ：在行列式 \begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix} 中，a_{ij} 的代数余子式 定义为：A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} ，其中 M_{ij} 为 a_{ij} 的余子式。
1.2 行列式的展开
设 \begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix} 是 n 阶行列式，元素 a_{ij} 的代数余子式记为 A_{ij} ，则对任意 s,r(=1,2,\cdots,n),s\neq r 存在：
\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}=\sum\limits_{i=1}^n a_{ir}A_{ir}
\\
\sum\limits_{i=1}^n a_{ir}A_{is}=0
1.3 Cramer 法则
设线性方程组：
\begin{cases}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1
\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2
\\
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots
\\
a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n
\end{cases}
记其系数行列式 为 \begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix} ，则：
x_1=\dfrac{\begin{vmatrix}\mathbf A_1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}},x_2=\dfrac{\begin{vmatrix}\mathbf A_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}},\cdots,x_n=\dfrac{\begin{vmatrix}\mathbf A_n\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}}
其中 \begin{vmatrix}\mathbf A_j\end{vmatrix} 为 \begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix} 去掉第 j 列并用 b_1,b_2,\cdots,b_n 将之替换的 n 阶行列式。
2 矩阵
2.1 矩阵的概念
定义 2.1.1 ：由 mn 个数 a_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots n) 排成 m 行 n 列的矩形阵列：
\begin{matrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}
\\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}
\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots
\\
a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}
\\
\end{matrix}
称为 m 行 n 列矩阵，简称为 m\times n 矩阵（或 m\times n 阵）。
若 \mathbf A 的元素全是实数则称 \mathbf A 为实矩阵 。
若 \mathbf A 的元素全是复数则称 \mathbf A 为复矩阵 。
若所有元素均为 0 则称为零矩阵 \mathrm O ，或 \mathrm O_{m\times n} 。
若 m=n 则称为方阵 ，反之为长方阵 。
若方阵 \mathbf A 仅存在对角元 a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn} 则简记为 \mathbf A=\mathbf{diag}(a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn}) 。
进一步，若 a_{11}=a_{22}=\cdots=a_{nn}=1 则称 \mathbf {I_n}=\mathbf{diag}(1,1,\cdots,1) 为 n 阶单位矩阵
2.2 矩阵的运算
一、矩阵加减法
定义 2.2.1 ：设有两个 m\times n 矩阵 \mathbf A=(a_{ij}),\mathbf B=(b_{ij}) ，定义 \mathbf A+\mathbf B 是一个 m\times n 矩阵且 \mathbf A+\mathbf B 的第 (i,j) 元素等于 a_{ij}+b_{ij} ，即\mathbf A+\mathbf B=(a_{ij}+b_{ij})
矩阵的减法可看作矩阵加法的逆运算，即
\mathbf A-\mathbf B=(a_{ij}-b_{ij})
定义 2.2.2 ：定义 \mathbf A=(a_{ij}) 的负矩阵为 -\mathbf A=(-a_{ij}) ，则有 \mathbf A+(-\mathbf A)=\mathbf O 。
矩阵加减法运算规则 ：
交换律：\mathbf A+\mathbf B=\mathbf B+\mathbf A 。
结合律：(\mathbf A+\mathbf B)+\mathbf C=\mathbf A+(\mathbf B+\mathbf C) 。
二、矩阵的数乘
定义 2.2.3 ：设 \mathbf A 是一个 m\times n 矩阵，\mathbf A=(a_{ij})_{m\times n} ，c 是一个常数，定义 c\mathbf A=(ca_{ij})_{m\times n} 。c\mathbf A 称为数 c\mathbf A 的数乘。
矩阵的数乘运算规则 ：
三、矩阵的乘法
定义 2.2.4 ：设有 m\times k 矩阵 \mathbf A=(a_{ij})_{m\times k} ，以及 k\times n 矩阵 \mathbf B=(b_{ij})_{m\times n} 。定义 \mathbf A 和 \mathbf B 的乘积 \mathbf A\mathbf B 是一个 m\times n 矩阵且 \mathbf A\mathbf B 的第 (i,j) 元素
c_{ij}=\sum\limits_{l=1}^ka_{il}b_{lj}
矩阵乘法的运算规则 ：
结合律：(\mathbf A\mathbf B)\mathbf C=\mathbf A(\mathbf B\mathbf C) 。
左右分配律：\mathbf A(\mathbf B+\mathbf C)=\mathbf A\mathbf B+\mathbf A\mathbf C,(\mathbf A+\mathbf B)\mathbf C=\mathbf A\mathbf C+\mathbf B\mathbf C 。
对任意的 m\times n 矩阵 \mathbf A ，\mathbf {I_m}\mathbf A=\mathbf A=\mathbf A\mathbf {I_n} 。
方阵幂运算规则 ：
四、矩阵的转置
定义 2.2.5 ：设 \mathbf A=(a_{ij}) 是 m\times n 矩阵，定义 \mathbf A 的转置 \mathbf A^{\mathbf T} 为一个 n\times m 矩阵，它的第 k 行正好是矩阵 \mathbf A 的第 k 列（k=1,2,\cdots,n ）；它的第 r 行是 \mathbf A 的第 r 行（r=1,2,\cdots,n ）。
矩阵转置运算规则 ：
五、矩阵的共轭
定义 2.2.6 ：设 \mathbf A=(a_{ij})_{m\times n} 是一个复矩阵，则 \mathbf A 的共轭矩阵 \overline{\mathbf A} 是一个 m\times n 复矩阵，且
\overline{\mathbf A}=(\overline a_{ij})_{m\times n}
矩阵共轭运算规则 ：
六、矩阵的迹
定义 2.2.7 ：设 \mathbf A 是一个 n 阶方阵，则 \mathbf A 的迹 为
\mathrm{tr}(\mathbf A)=\sum\limits_{i=1}^na_{ii}
2.3 方阵的逆阵
定义 2.3.1 ：设 \mathbf A 是 n 阶方阵，若存在一个 n 阶方阵 \mathbf B ，使得：
\mathbf A\mathbf B=\mathbf B\mathbf A=\mathbf {I_n},
则称 \mathbf B 是 \mathbf A 的逆阵 ，记为 \mathbf B=\mathbf A^{-1} 。凡有逆阵的矩阵称为可逆阵 或非奇异阵 （简称非异阵 ），否则称为奇异阵 。
矩阵求逆运算规则 ：
若 \mathbf A 是非异阵，则 (\mathbf A^{-1})^{-1}=\mathbf A 。
若 \mathbf A,\mathbf B 都是 n 阶非异阵，则 \mathbf A\mathbf B 也是 n 阶非异阵且 (\mathbf A\mathbf B)^{-1}=\mathbf B^{-1}\mathbf A^{-1} 。
若 \mathbf A 是非异阵，c 是非零数，则 c\mathbf A 也是非异阵且 (c\mathbf A)^{-1}=c^{-1}\mathbf A^{-1} 。
若 \mathbf A 是非异阵，则 \mathbf A 的转置 \mathbf A^{\mathbf T} 也是非异阵且 (\mathbf A^{\mathbf T})^{-1}=(\mathbf A^{-1})^{\mathbf T} 。
设 \mathbf A 是 n 阶方阵，这个方阵决定了一个 n 阶行列式，记为 \begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix} 或 \det\mathbf A 。
定义 2.3.2 ：设 A 是 n 阶方阵，A_{ij} 是行列式 \begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix} 中第 (i,j) 元素 a_{ij} 的代数余子式，则称下列方阵为 \mathbf A 的伴随阵 ：
\begin{pmatrix}
A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}
\\
A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2}
\\
\vdots&\vdots&\ddots &\vdots
\\
A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn}
\end{pmatrix}
**引理 2.3.1**：设 $\mathbf A$ 为 $n$ 阶方阵，$\mathbf A^*$ 为 $\mathbf A$ 的伴随阵，则
$$
\mathbf A\mathbf A^*=\mathbf A^*\mathbf A=\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}\cdot\mathbf{I_{n}}
$$
**定理 2.3.1**：若 $\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}\neq0$，则 $\mathbf A$ 是一个非异阵，且
$$
\mathbf A^{-1}=\dfrac{1}{\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}} \mathbf A^*
$$
#### 2.4 矩阵的初等变换与初等矩阵
**定义 2.4.1**：下列三种矩阵变换分别称为矩阵的第一类、第二类、第三类初等行（列）变换：
1. 对调矩阵中某两行（列）的位置；
2. 用一非零常数 $c$ 乘以矩阵的某一行（列）；
3. 将矩阵的某一行（列）乘以常数 $c$ 后加到另一行（列）上去。
上述 $3$ 种变换统称为**矩阵的初等变换**。
#### 2.5 初等变换法求逆阵
众所周知，用伴随阵求非异阵的逆阵是相当麻烦的，有没有什么更加强势的做法推荐一下：
有的兄弟有的：
$$
\mathbf A^{-1}\mathbf A=\mathbf {I_n}
\\
\mathbf A^{-1}=\mathbf A^{-1}\mathbf {I_n}
$$
上述和式子启发我们可以这样求逆阵：
考虑一个 $n\times 2n$ 的矩阵 $(\mathbf A\mathbf {I_n})$，这个矩阵的前 $n$ 列为 $\mathbf A$，后 $n$ 列为 $\mathbf {I_n}$。对矩阵 $(\mathbf A\mathbf {I_n})$ 进行初等变换把 $\mathbf A$ 变成 $\mathbf {I_n}$，这时右边的 $\mathbf {I_n}$ 就变成了 $\mathbf A^{-1}$。
#### 2.6 矩阵的秩
**定义 2.6.1**：在 $m\times n$ 矩阵 $\mathbf A$ 中，任取 $k$ 行 $k$ 列（$k\leqslant m,k\leqslant n$），位于这些行列交叉处的 $k^2$ 个元素，不改变他们在 $\mathbf A$ 中所处的位置次序二得的 $k$ 阶行列式，称为**矩阵 $\mathbf A$ 的 $k$ 阶子式**。
**定义 2.6.2**：设在矩阵 $\mathbf A$ 中有一个不等于 $0$ 的 $r$ 阶子式 $\mathbf D$，且所有 $r+1$ 阶子式（如果存在的话）全等于 $0$，则 $\mathbf D$ 称为矩阵 $\mathbf A$ 的**最高阶非零子式**，数 $r$ 称为**矩阵 $\mathbf A$ 的秩**，记作 $\text R(\mathbf A)$。并规定零矩阵的秩为 $0$。
## 3 向量组的线性相关性
#### 3.1 向量组及其线性组合
**定义 3.1.1**：$n$ 个有次序的数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 所组成的数组称为 **$n$ 维向量**，这 $n$ 个数称为该向量的 $n$ 个分量，第 $i$ 个数 $a_i$ 称为第 $i$ 个分量。
**定义3.1.2**：给定向量组 $A:\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_m$，对于任何一组实数 $k_1,k_2,\cdots,k_m$，表达式 $$\sum\limits_{i=1}^{m}k_i\mathbf a_i$$称为向量组 $A$ 的一个线性组合，$k_1,k_2,\cdots,k_n$ 称为这个线性组合的系数。
#### 3.2 向量组的线性相关性
**定义 3.2.1**：给定向量组 $A:\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_m$，如果存在不全为零的数 $\mathbf k_1,\mathbf k_2,\cdots,\mathbf k_m$ 使得 $$ \sum\limits_{i=1}^mk_i\mathbf a_i =\mathbf 0$$则称向量组 $A$ 是**线性相关**的，否则称为**线性无关**。
#### 3.3 向量空间
**定义 3.3.1**：设 $V$ 为 $n$ 为向量的集合，如果集合 $V$ 非空，且集合 $V$ 对于向量的假发即数乘两种运算封闭，那么就称集合 $V$ 为**向量空间**。
**定义 3.3.2**：设有向量空间 $V_1$ 及 $V_2$，若 $V_1\subseteq V_2$，则称 $V_1$ 是 $V_2$ 的子空间。
**定义 3.3.3**：设 $V$ 为向量空间，如果 $r$ 个向量 $\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_r\in V$，且满足:
1. $\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_r$ 线性无关；
2. $V$ 中任一向量都可由 $\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_r$ 线性表示，
则称向量组 $\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_r$ 为向量空间 $V$ 的一个**基**，$r$ 称为向量空间 $V$ 的**维数**，并称 $V$ 为 **$r$ 为向量空间**。
**定义 3.3.4**：如果向量空间 $V$ 中取定一个及 $\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_r$，那么 $V$ 中任一向量 $\mathbf x$ 可惟一的表示为$$ \mathbf x=\sum\limits_{i=1}^r\lambda_i\mathbf a_i $$ 数组 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r$ 称为向量 $\mathbf x$ 在基 $\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_r$ 的坐标。
特别的，如果在 $n$ 为向量空间 $\mathbb R^n$ 中取单位坐标向量组 $\mathbf e_1,\mathbf e_2,\cdots,\mathbf e_n$ 为基，则以 $\mathbf x_1,\mathbf x_2,\cdots,\mathbf x_n$ 为分量的向量 $\mathbf x$ 可表示为 $$\mathbf x=\sum\limits_{i=1}^N x_i\mathbf e_i$$
## 4 相似矩阵及二次型
#### 4.1 向量的内积、长度及正交性
**定义 4.1.1**：设有 $n$ 维向量
$$
\mathbf x=
\begin{pmatrix}
x_1\\x_2\\\vdots\\x_n
\end{pmatrix}
,
\mathbf y=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}
$$
记$$(\mathbf x,\mathbf y)=\sum\limits_{i=1}^{n}x_iy_i$$
称为向量 $\mathbf x$ 与 $\mathbf y$ 之间的**内积**。
**向量内积运算规则**：
1. $(\mathbf x,\mathbf y)=(\mathbf y,\mathbf x)$；
2. $(\lambda\mathbf x,\mathbf y)=\lambda(\mathbf x,\mathbf y)$；
3. $(\mathbf x+\mathbf y,\mathbf z)=(\mathbf x,\mathbf z)+(\mathbf y,\mathbf z)$；
4. 当 $\mathbf x=\mathbf0$ 时，$(\mathbf x,\mathbf x)=0$；当 $\mathbf x\neq0$ 时，$(\mathbf x,\mathbf x)>0$。
**定义 4.1.2**：令
$$
\begin{Vmatrix}\mathbf x\end{Vmatrix}=\sqrt{(\mathbf x,\mathbf x)}=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}x_i^2}
$$
称为 $n$ 维向量 $\mathbf x$ 的**长度**（或**范数**）。
特别的，当$$\begin{Vmatrix}\mathbf x\end{Vmatrix}=1$$时，称 $\mathbf x$ 为单位向量。
**定义 4.1.3**：设 $n$ 维向量 $\mathbf e_1,\mathbf e_2,\cdots,\mathbf e_r$ 是向量空间 $V$（$V\subseteq\mathbb R^n$）的一个基，如果 $\mathbf e_1,\mathbf e_2,\cdots,\mathbf e_r$ 两两正交，且都是单位向量，则称 $\mathbf e_1,\mathbf e_2,\cdots,\mathbf e_r$ 是 $V$ 的一个**标准正交基**。
##### $Schmidt$ 正交化
设 $\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_r$ 是向量空间 $V$ 的一个基，要求 $V$ 的一个标准正交基。
取：
$$
\mathbf b_1=\mathbf a_1\\\mathbf b_2=\mathbf a_2-\dfrac{(\mathbf b_1,\mathbf a_2)}{(\mathbf b_1,\mathbf b_1)}\mathbf b_1\\\cdots\\\mathbf b_r=\mathbf a_r-\dfrac{(\mathbf b_1,\mathbf a_r)}{(\mathbf b_1,\mathbf b_1)}\mathbf b_1-\dfrac{(\mathbf b_2,\mathbf a_r)}{(\mathbf b_2,\mathbf b_2)}\mathbf b_2-\cdots-\dfrac{(\mathbf b_{r-1},\mathbf a_r)}{(\mathbf b_r,\mathbf b_r)}\mathbf b_r
$$
容易验证 $\mathbf b_1,\mathbf b_2,\cdots,\mathbf b_r$ 两两正交
将它们单位化，即
$$
\mathbf e_1=\dfrac1{\begin{Vmatrix}\mathbf b_1\end{Vmatrix}}\mathbf b_1,
\mathbf e_2=\dfrac1{\begin{Vmatrix}\mathbf b_2\end{Vmatrix}}\mathbf b_2,
\cdots,
\mathbf e_r=\dfrac1{\begin{Vmatrix}\mathbf b_r\end{Vmatrix}}\mathbf b_r
$$
上述过程即称为 $Schmidt$ 正交化。
**定义 4.1.4**：如果 $n$ 阶矩阵 $\mathbf A$ 满足
$$
\mathbf A^{\mathbf T}\mathbf A=\mathbf I\ \ \ (\mathbf A^{-1}=\mathbf A^{\mathbf T})
$$
则称 $\mathbf A$ 为**正交阵**。
不难证明方阵 $\mathbf A$ 为正交阵的充分必要条件是 $\mathbf A$ 的列向量都是单位向量且两两正交。
**正交阵的性质**：
1. 若 $\mathbf A$ 为正交阵，则 $\mathbf A^{-1}=\mathbf A^{\mathbf T}$ 也是正交阵，且 $\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}=\pm1$；
2. 若 $\mathbf A$ 和 $\mathbf B$ 都是正交阵，则 $\mathbf A\mathbf B$ 也是正交阵。
**定义 4.1.5**：若 $\mathbf P$ 为正交矩阵，则线性变换 $\mathbf{y=Px}$ 称为**正交变换**。
#### 4.2 矩阵的特征值与特征向量
**定义 4.2.1**：设 $\mathbf A$ 是 $n$ 阶矩阵，如果数 $\lambda$ 和 $n$ 维非零向量 $\mathbf x$ 使关系式
$$
\mathbf A\mathbf x=\lambda\mathbf x
$$
成立，那么这样的数 $\lambda$ 称为矩阵 $\mathbf A$ 的**特征值**，非零向量 $\mathbf x$ 称为 $\mathbf A$ 的对应与特征值 $\lambda$ 的**特征向量**。
上式也可化为
$$
\begin{vmatrix} \mathbf A-\lambda \mathbf I \end{vmatrix}=\mathbf0
$$
称为矩阵 $\mathbf A$ 的**特征方程**，其左端称为矩阵 $\mathbf A$ 的**特征多项式**。
不难证明：
1. $\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i=\mathrm{tr}(\mathbf A)$；
2. $\prod\limits_{i=1}^n\lambda_i=\begin{vmatrix}\mathbf A\end{vmatrix}$。
**定义 4.2.2**：设 $\lambda$ 为矩阵 $\mathbf A$ 的一个特征值，则由方程
$$
\mathbf{(A-\lambda I)x=0}
$$
可求得非零解 $\mathbf{x=p}$，则称 $\mathbf p$ 为 $\mathbf A$ 的对应于特征值 $\lambda$ 的**特征向量**。
#### 4.3 相似矩阵
**定义 4.3.1**：设 $\mathbf A$、$\mathbf B$ 都是 $n$ 阶矩阵，若有可逆矩阵 $\mathbf P$ 使
$$
\mathbf P^{-1}\mathbf A\mathbf P=\mathbf B
$$
则称 $\mathbf B$ 是 $\mathbf A$ 的**相似矩阵**，对 $\mathbf A$ 进行运算 $\mathbf P^{-1}\mathbf A\mathbf P$ 称为对 $\mathbf A$ 进行**相似变换**。
##### 矩阵对角化
对 $n$ 阶矩阵 $\mathbf A$ ，寻找相似变换矩阵 $\mathbf P$ 使得 $\mathbf P^{-1}\mathbf{AP=\Lambda}$ 为对角矩阵。
将 $\mathbf P$ 用列向量表示为
$$
\mathbf P=(\mathbf p_1,\mathbf p_2,\cdots,\mathbf p_n)
$$
由 $\mathbf P^{-1}\mathbf{AP=\Lambda}$，得 $\mathbf{AP=P\Lambda}$，即
$$
\mathbf A(\mathbf p_1,\mathbf p_2,\cdots,\mathbf p_n)=(\lambda_1\mathbf p_1,\lambda_2\mathbf p_2,\cdots,\lambda_n\mathbf p_n)
$$
其中已用到
$$
\mathbf \Lambda=
\begin{pmatrix}
\lambda_1&
\\
&\lambda_2&
\\
&&\ddots&
\\
&&&\lambda_n
\end{pmatrix}
$$
于是
$$
\mathbf A\mathbf p_i=\lambda_i\mathbf p_i
$$
#### 4.4 对称矩阵的对角化
**对称矩阵的性质**：
1. 对称矩阵的特征值为实数。
2. 设 $\lambda_1,\lambda_2$ 是对称矩阵 $\mathbf A$ 的两个特征值，$\mathbf p_1,\mathbf p_2$ 是对应的特征向量。若 $\lambda_1\neq\lambda_2$，则 $\mathbf p_1$ 与 $\mathbf p_2$ 正交。
特别的，对称矩阵 $\mathbf A$ 存在正交变换矩阵 $\mathbf P$ 使得 $\mathbf A$ 经正交变换 $\mathbf P$ 后变为对角矩阵 $\mathbf\Lambda$。
#### 4.5 二次型及其标准型
**定义 4.5.1**：含有 $n$ 个变量 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的二次齐次函数
$$
f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+\cdots+a_{nn}x_n^2+2(a_{12}x_1x_2+a_{13}x_1x_3+\cdots+a_{n-1,n}x_{n-1}x_n)
$$
称为**二次型**。
**定义 4.5.2**：若二次型中只含平方项，即
$$
f(x)=k_1x_1^2+k_2x_2^2+\cdots+k_nx_n^2
$$
则称为二次型的**标准型**（或**法式**）。
若标准型的系数 $k_1,k_2,\cdots,k_n$ 只在 $0,-1,1$ 中取，则称为二次型的**规范型**。
当 $a_{ij}$ 为复数时，称 $f$ 为**复二次型**；当 $a_{ij}$ 为实数时，称 $f$ 为**实二次型**。
利用矩阵，可以将二次型表示为
$$
f=\mathbf {x^TAx}
$$
其中 $\mathbf A$ 为对称矩阵。
将对称矩阵 $\mathbf A$ 称为**二次型 $f$ 的矩阵**，也将 $f$ 称为**对称矩阵 $\mathbf A$ 的二次型**，对称矩阵 $\mathbf A$ 的秩也叫做**二次型 $f$ 的秩**。
**定义 4.5.3**：设 $\mathbf A$ 和 $\mathbf B$ 是 $n$ 阶矩阵，若有可逆矩阵 $\mathbf C$ 使 $\mathbf {B=C^TAC}$，则称矩阵 $\mathbf A$ 与 $\mathbf B$ **合同**。
不难证明：
1. 若 $\mathbf A$ 为对称矩阵，则 $\mathbf B$ 也是对称矩阵；
2. $\mathrm R(\mathbf B)=\mathrm R(\mathbf A)$。
显然对于给定二次型
$$
f=\sum\limits_{i,j=1}^na_{ij}x_ix_j
$$
总有正交变换 $\mathbf {x=Py}$ 使 $f$ 化为标准型
$$
f=\sum\limits_{i=1}^n\lambda_ix_i^2
$$
其中 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 使 $f$ 的矩阵 $\mathbf A=(a_{ij})$ 的特征值。
#### 4.6 正定二次型
**定义 4.6.1**：设二次型 $f(\mathbf x)=\mathbf {x^TAx}$，如果对任何 $\mathbf {x\neq0}$，都有 $f(\mathbf x)>0$ （显然 $f(\mathbf 0)=0$），则称 $f$ 为**正定二次型**，并称**对称矩阵 $\mathbf A$ 是正定的**；如果对任何 $\mathbf x\neq\mathbf 0$ 都有 $f(\mathbf x)<0$，则称 $f$ 为**负定二次型**，并称**对称矩阵 $\mathbf A$ 是负定的**。
不难发现 $n$ 元二次型 $f=\mathbf {x^TAx}$ 为正定的充分必要条件是：它的标准型的 $n$ 个系数全为正，即它的规范型的 $n$ 个系数全为 $1$。