不定积分速查手册

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本文旨在通过罗列一些常见的不定积分的结果，帮助使用者更高效、更轻松地运用不定积分解决问题。同时，会保留一些简单的推导过程，方便使用者更好记忆这些结果。

提示：本文有许多长公式，移动端读者建议横屏阅读。

第 0 辑：初等函数的导数

0.1

C'=0 (x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha-1}\ (\alpha\neq 0)

0.2

(\mathrm{e}^x)'=\mathrm{e}^x (\ln x)'=\dfrac{1}{x}

0.3

(\sin x)'=\cos x (\cos x)'=-\sin x (\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2 x} (\cot x)'=-\dfrac{1}{\sin^2 x} (\csc x)'=(\dfrac{1}{\sin x})'=-\dfrac{\cos x}{\sin^2 x} (\sec x)'=(\dfrac{1}{\cos x})'=\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}

0.4

(\arcsin x)'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} (\arccos x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} (\arctan x)'=\dfrac{1}{1+x^2}

0.5

(C_1f(x)+C_2g(x))'=C_1f'(x)+C_2g'(x) (f(x)g(x))'=f(x)g(x)'+g(x)f(x)' (\dfrac{f(x)}{g(x)})'=\dfrac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)} (f(g(x)))'=f'(g(x))\times g'(x) (\mathrm{arc}f(y))'=\dfrac{1}{f'(x)}\ (y=f(x))

注记 本文中统一以 \mathrm{arc} f(x) 表示函数 f 的反函数。

注记 以上公式都是初等函数的求导公式。将其列出，一方面是因为这些公式从左往右是求导公式，从右往左便成了积分公式；另一方面是因为求导在求不定积分的过程中扮演了重要的角色。请读者确认熟知以上的公式，以下将会不断用到这些公式。

注记 以下将广泛地应用不定积分的换元法、分部积分法，其原理分别为 0.5 中的第 4 式和第 2 式。不熟悉的读者请先自行学习常见的技巧。

第 1 辑：有理函数

1.1

\int x^{\alpha}\mathrm{d}x=\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\ (\alpha\neq -1) \int x^{-1}\mathrm{d}x=\ln |x|+C

1.2

\int \dfrac{1}{x^2-1}\mathrm{d}x=\int \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1})\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}\ln|\dfrac{x-1}{x+1}|+C \int \dfrac{1}{x^2+1}\mathrm{d}x=\arctan x+C \int \dfrac{1}{x^2}\mathrm{d}x=-\dfrac{1}{x}+C \int \dfrac{2ax+b}{ax^2+bx+c}\mathrm{d}x=\ln|ax^2+bx+c|+C

注记 以上四式可以解决所有分母次数为 2 的有理式的不定积分。

1.3

\int\dfrac{1+x^2}{1+x^4}\mathrm{d}x=\int\dfrac{1+x^{-2}}{x^{-2}+x^2}\mathrm{d}{x}\xlongequal {u=x-x^{-1}}\int\dfrac{1}{u^2+2}\mathrm{d}u \int\dfrac{1-x^2}{1+x^4}\mathrm{d}x=\int\dfrac{1-x^{-2}}{x^{-2}+x^2}\mathrm{d}{x}\xlongequal {u=x+x^{-1}}\int\dfrac{1}{u^2-2}\mathrm{d}u

注记 以上各式充分展示了换元 u=x\pm x^{-1} 在处理回文式时的威力。

注记 加减以上各式可解得 \int\dfrac{1}{1+x^4}\mathrm{d}x 和 \int\dfrac{x^2}{1+x^4}\mathrm{d}x。另外，\int\dfrac{x}{1+x^4}\mathrm{d}x 和 \int\dfrac{x^3}{1+x^4}\mathrm{d}x 都可以简单地换元求得。综上，我们解决了分母形如 x^4+a 形式的有理式的不定积分。

注记 稍微拓展一下本题的结果，便可以解决有对称轴的四次式作分母的有理式不定积分。

1.4 本条致力于处理一般的有理式的不定积分。众所周知，实系数整式一定可被分解为若干次数不超过 2 的实系数多项式的乘积：

Q(x)=Q\times \prod_{i=1}^{q_1}(x+q_i)^{r_i}\times \prod_{i=1}^{q_2}(x^2+b_ix+c_i)^{d_i}

可以证明，有理式 P(x)/Q(x) 一定能被写成下列形式（称作 部分分式分解）：

\dfrac{P(x)}{Q(x)}=P_0(x)+\sum_{i=1}^{q_1}\sum_{j=1}^{r_i}\dfrac{m_{ij}}{(x+q_i)^j}+\sum_{i=1}^{q_2}\sum_{j=1}^{d_i}\dfrac{M_{ij}x+N_{ij}}{(x+b_ix+c_i)^j}

其中整式和一次分式的幂的积分是容易的，我们重点关注二次分式的幂的积分。稍作平移，我们需要计算以下两个积分：

I_n=\int\dfrac{Mx}{(x^2+b^2)^n}\mathrm{d}x J_n=\int\dfrac{N}{(x^2+b^2)^n}\mathrm{d}x

其中上式容易通过换元解决，下式可以通过分部积分法获得递推公式

J_{n+1}=\dfrac{x}{2na^2(x^2+a^2)^n}+ \dfrac{(2n-1)}{2na^2}J_n

即可从 J_1 推得各 J_n。综上，我们找到了计算有理式不定积分的通法，也证明了有理式一定有初等形式的不定积分。

第 2 辑：三角函数

2.1

\int \sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C \int \cos x\mathrm{d}x=\sin x+C

2.2

\int \tan x\mathrm{d}x=\int\dfrac{\sin x}{\cos x}\mathrm{d}x=\int-\dfrac{1}{\cos x}\mathrm{d}\cos x=-\ln|\cos x|+C \int \cot x=\ln|\sin x|+C \int \csc x\mathrm{d}x=\int\dfrac{\sin x}{\sin^2 x}\mathrm{d}x=\int-\dfrac{1}{1-\cos^2 x}\mathrm{d}\cos x=-\ln|\dfrac{\cos x-1}{\cos x+1}|+C \int \sec x\mathrm{d}x=\ln|\dfrac{\sin x-1}{\sin x+1}|+C

注记 一般地，设 R(x,y) 是有理函数，则积分 \int R(\sin^2 x,\cos x)\sin x\mathrm{d}x 可作换元 u=\cos x，另一组同理。

2.3

\int\dfrac{1}{\cos^2x}\mathrm dx=\tan x+C \int\dfrac{1}{\sin^2x}\mathrm dx=-\cot x+C \int\dfrac{1}{1+\cos^2x}\mathrm dx\xlongequal{u=\tan x}\int\dfrac{\cos^2 x}{(\sin^2x+\cos^2x)+\cos^2x}\mathrm du=\int\dfrac{1}{u^2+2}\mathrm du=\dfrac{1}{\sqrt 2}\arctan \dfrac{u}{\sqrt 2}+C

注记 另一种换元思路。需要齐次，有时需要乘上一些 1=\sin^2x+\cos^2x。

2.4

\int\dfrac{1}{1+a\cos x}\mathrm dx

注记 万能换元 u=\tan x/2 可以求出大部分三角函数式的积分。特别地，可以求出所有 \sin x,\cos x 的有理函数的积分。

第 3 辑：根式

3.1

\int \dfrac{1}{\sqrt {a^2-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin \dfrac{x}{a}+C \int \dfrac{1}{\sqrt {x^2-a^2}}\mathrm{d}x=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C \int \dfrac{1}{\sqrt {x^2+a^2}}\mathrm{d}x=\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C

注记 以上第一式由 \arcsin 的导数直接得出，第二三式可以利用三角函数的换元得出。另外需要注意：以上第一个积分的定义域为 |x| < a，第二个积分的定义域为 |x| > a，第三个积分的定义域为全体实数。

3.2

\int {\sqrt {x^2\pm a^2}}\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}(x\sqrt {x^2\pm a^2}\pm a^2\ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|)+C \int \sqrt{a^2-x^2}\mathrm dx=\dfrac{1}{2}(a^2\arcsin\dfrac{x}{a}+x\sqrt{a^2-x^2})+C

注记 以上三式都可以利用分部积分法解出。第三式也可以用圆面积的几何意义来理解。同样注意这三式的定义域，以及和 3.1 各式的联系。

3.3