部分分式分解

realskc · 2024-07-12 19:00:17 · 算法·理论

例：\dfrac{1}{(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)}=\dfrac{\frac{1}{a-b} \frac{1}{a-c} \frac{1}{a-d}}{x-a}+\dfrac{\frac{1}{b-a} \frac{1}{b-c} \frac{1}{b-d}}{x-b}+\dfrac{\frac{1}{c-a} \frac{1}{c-b} \frac{1}{c-d}}{x-c}+\dfrac{\frac{1}{d-a} \frac{1}{d-b} \frac{1}{d-c}}{x-d}。

结论：对于 f(x)=(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)，有 \dfrac{1}{f(x)}=\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{\frac{1}{f'(x_i)}}{x-x_i}。

证明：等式两边同乘 f(x) 后，右边为不超过 n-1 次的多项式。容易发现其在 x_1,x_2,\cdots,x_n 处的点值均为 1，因此等式右侧为 1。