数论大学习3

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我真的在学信息学竞赛吗

这是数竞吗

哦这不是数竞

数竞没这么难

群

若集合 G\neq\varnothing 和在 G 上二元运算 \circ 构成的 (G, \circ) 为群，则满足：

  1. 封闭性：\forall\text{ }a,b\in G, a\circ b\in G
  2. 结合律：\forall\text{ }a,b,c\in G,a\circ(b\circ c)=(a\circ b)\circ c
  3. 单位元：\exist\text{ }e\in G, s.t.\text{ } \forall\text{ } a\in G, a\circ e=e\circ a=a
  4. 逆元：\forall\text{ } a\in G, \exist \text{ }a^{-1}\in G,s.t.\text{ }a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e

例如 (R, +) 就是一个群

子群

对于群 (G,\circ)，若 H\subseteq G，且 (H, \circ) 也构成一个群，就称 (H,\circ) 是 (G, \circ) 的子群

例如 (Z,+) 就是 (R, +) 的一个子群

陪集

对于群 (G,\circ) 的子群 (H,\circ)，对于 a\in G, 令 aH=\{a\circ h,h\in H\} 为 H 的左陪集，Ha=\{h\circ a,h\in H\} 为 H 的右陪集。

性质：

  1. \forall\text{ }g\in G, |Hg|=|H|
  2. \forall\text{ }g\in G, g\in Hg
  3. Ha=H\Leftrightarrow a\in H
  4. Ha=Hb\Leftrightarrow a\cdot b^{-1}\in H
  5. Ha\cap Hb\neq\varnothing\Rightarrow Ha=Hb
  6. H$ 的所有右陪集的并为 $G

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