亿些好玩的 MO 题目

Scrutiny · 2020-08-01 16:14:52 · 个人记录

这里收录的题目不一定难，但一定很有意思（

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题目难度共 10 种，分别为 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10。求评难度 /kel

• 难度 0 大约对标 初中 / 高中课内内容。
• 难度 1,2 大约对标 大同中学杯初赛
• 难度 3 大约对标 大同中学杯复赛
• 难度 4 大约对标 全国高中数学联赛预赛（弱省）
• 难度 5 大约对标 全国高中数学联赛一试
• 难度 6 大约对标 全国高中数学联赛一试+/二试-
• 难度 7 大约对标 全国高中数学联赛二试+/中国东南地区数学奥林匹克-
• 难度 8 大约对标 中国东南地区奥林匹克/CMO-
• 难度 9,10 大约对标 CMO/其他 MO 强国奥林匹克

第一期：

已知正整数 x>1,并且 10000\mid[\dfrac{x^8}{x-1}]，这里 [a] 表示 a 的整数部分，求 x 的最小可能值.

若 α,β,γ 为实数， y=\sum\mathrm{cos\space \alpha+\sum cos\space| \alpha-\beta|}，求 y 的最小值.

对于实数数列 \{a_i\},\{b_j\}，求证：\sum\limits_{m,n=1}^{2022}\dfrac{a_m b_n}{(\sqrt{m}+\sqrt{n})^2} \leq 2(\sum\limits_{m=1}^{2022}a_m^2)^{\frac{1}{2}}(\sum\limits_{n=1}^{2022}b_n^2)^{\frac{1}{2}}.

已知点 P(3,4) 在以原点为圆心的圆 O 上，在 y 轴上取两点 E,F，使得 PE=PF，且点 E 在点 F 上方。若直线 PE,PF 分别交圆 O 于点 C,D，试求直线 CD 的斜率.

（注：此题标答是解析硬算，但几何方法只需一行即可做完）

在锐角 \triangle ABC 中，AA_1,BB_1,CC_1 分别是高线、中线、角平分线，且 \triangle A_1B_1C_1 是正三角形。证明：\triangle ABC 是正三角形。

求证：对任意正整数 m，有 \sum\limits_{d|m}φ(d)=\sum\limits_{d|m}φ(\dfrac{m}{d})=m.其中 φ(x) 是欧拉函数.

关于 x 的实系数方程 x^4+ax^3+bx^2+ax+c=0 恰有 3 个不等实根，分别为 \tan\alpha,\tan 2\alpha,\tan 3\alpha，其中 \alpha\in(0,\pi)。试求 \alpha 的所有可能值.（题目来源：2019 年西班牙数学奥林匹克）

设正数 x,y,z，求证：(xy+yz+zx)(\dfrac{1}{(x+y)^2}+\dfrac{1}{(y+z)^2}+\dfrac{1}{(z+x)^2})\ge\dfrac{9}{4}. （题目来源：1996 年伊朗 IMO 国家队选拔考试）

第三期：

在 \triangle ABC 中，证明：\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{c+a-b}+\dfrac{c}{a+b-c}≥\dfrac{b+c-a}{a}+\dfrac{c+a-b}{b}+\dfrac{a+b-c}c≥3.

如图，在定矩形 ABCD 中，AB=9,AD=6,BE=3，E 在 BC 上。F 是圆 B 上的一动点，∠GAF=\dfrac{\pi}{2},\dfrac{AF}{AG}=3,求 CG 的最小值.

对于 \forall k\in[1,n]\bigcap \mathbb{z}^+，有 a_k\in[\dfrac{1}{2},1]。求证：\prod\limits_{i=1}^na_i+\prod\limits_{i=1}^n(1-a_i)\ge\dfrac{1}{2^{n-1}}.

求证：不存在 100 个互异的正整数，使得其中任意 98 个数之和能被另外两个数的和整除.

求证：

如图，A,B,C 共线，D,E,F 共线。证明：G,H,I 共线.（帕普斯定理）

设正实数 x,y>1，且 a=\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}，b=\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}。若 a,b 为两个不相邻的正整数，试求 x,y.

第五期：

设 0<b\le a<1，求证：a^a+b^b\ge a^b+b^a.

设整数 n\ge 3，\alpha,\beta,\gamma\in(0,1)，且非负实数数列 \{a_n\},\{b_n\},\{c_n\} 满足 \sum\limits_{i=1}^{n}(k+\alpha)a_k\le\alpha,\sum\limits_{i=1}^{n}(k+\beta)b_k\le\beta,\sum\limits_{i=1}^{n}(k+\gamma)c_k\le\gamma。
若对于任意满足条件的上述数列，均有 \sum\limits_{k=1}^n(k+\lambda)a_kb_kc_k\le\lambda，试求 \lambda_{\min}.（题目来源：2014 东南数学奥林匹克）

设函数 f(x) 定义域为 \mathbb{R}，且对于任意实数 x_1,x_2，都有 f(x_1)+f(x_2)=2f(\dfrac{x_1+x_2}{2})f(\dfrac{x_1-x_2}{2}).
若 f(\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{1}{2},f(\dfrac{\pi}{2})=0，试求 f(x) 的最小正周期并加以证明.

在圆内接四边形 ABCD 中，BC×CD=BA×DA。若 AB,BC,CD,DA 的长度为四个小于 15 的正整数，求 BD_{\max}.

设 x>0,n\in\mathbb{Z^+}，证明：\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{x^{k^2}}{k}\ge x^{\frac{n(n+1)}{2}}.

第六期：

在 \triangle ABC 中，AD 平分 \angle BAC，F 为 BC 中点。\triangle ADF 的外接圆与 \triangle ABC 的外接圆交于 E,G，H 为 EG 中点。求证：AD \parallel HF.

对于任意正整数 i\in[1,n]，有 a_i,b_i,c_i,d_i,e_i\ge1。 记 A=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^na_i,B=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nb_i,C=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nc_i,D=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nd_i,E=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^ne_i
求证：\prod\limits_{i=1}^n \dfrac{a_ib_ic_id_ie_i+1}{a_ib_ic_id_ie_i-1}\ge(\dfrac{ABCDE+1}{ABCDE-1}).

证明：对于 \forall n\in \mathbb{Z^+}，有 n-\ln(n+1)<2(1+\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{i}{i+1}).

已知正整数 n 与素数 p,q,r 满足 \dbinom{n}{3}=pqr，且 p,q,r 在一个公差为 336 的等差数列中。试求 n_{\min}.（题目来源：2020\ \text{Nordic}）

若正整数 m,n 满足 \dfrac{n^2+1}{2m} 与 \sqrt{2^{n-1}+m+4} 都是正整数，试求 m,n 的值.（题目来源：2020 日本数学奥林匹克）

第七期：

正数 a,b 满足 3a+b=14，试求：\dfrac{a^2}{a+2b}+\dfrac{b^2}{b+2} 的最小值.

证明：不存在非负整数 k 和 m，使得 k!+48=48(k+1)^m.

设 P 为 圆 O 上任意一点。过 P 任意引 n 条直线 l_1,l_2,\cdots,l_n(n\ge2)，第 i 条交圆于 M_{i},M_{i^{'}} 两点。若这 n 条直线中，任意相邻两条所成的角是 \dfrac{\pi}{n}，求证：\sum\limits_{i=1}^n(|PM_i|^2+|PM_{i^{'}}|^2)=2nR^2.

给定整数 n\ge3，记 f(n) 为满足以下条件的集合 A 的元素个数的最小值：

第八期：

（此题由于过于简单，笔者不写解答了。答案：{\color{white}\colorbox{white}{无解}}）

设自然数 k 满足 1<k<100，对于 1,2,\cdots,100 的任意一个排列 a_1,a_2,\cdots,a_{100}，取最小的 m>k，使 a_m 至少小于 a_1,a_2,\cdots,a_k 中的 k-1 个数。已知满足 a_m=1 的数列个数为 \dfrac{100!}{4}，试求 k 的值.

数列 \{a_n\} 中，a_1=1，a_n=n^2\sum\limits_{i=1}^{n-1}\dfrac{1}{i^2}(n\ge2)。求证：\prod\limits_{i=1}^n(1+\dfrac{1}{a_i})<4(n\ge1).

已知 a,b,c,x,y,z\in\mathbb{R^+}，求证：

第九期：

求所有函数 f:\mathbb{R\mapsto R}，使得 f(1)=1，且对于任意实数 x,y(y\neq0) 都有：

若 z_i\in\mathbb{C}(i=1,2,3,4,5)，|z_1|\le1,|z_2|\le1,|2z_3-(z_1+z_2)|\le|z_1-z_2|,|2z_4-(z_1+z_2)|\le|z_1-z_2|,|2z_5-(z_3+z_4)|\le|z_3-z_4|，试求 |z_5|_{\max}.

对于任意复数 z_1,z_2\cdots z_n，设 \sigma_i 为关于这 n 个复数的 i 次对称式。（编者注：即关于 x 的方程 x^n-\sigma_1x^{n-1}+\sigma_2x^{n-2}-\cdots+(-1)^n\sigma_n 的 n 个根分别是 z_1,z_2,\cdots,z_n）
求最大的实数 \gamma，使得对任意模不大于 1 的复数 z_1,z_2\cdots z_n，都有 1+|\sigma_1|+|\sigma_2|+\cdots+|\sigma_n|\ge\gamma(|z_1|+|z_2|+\cdots+|z_n|).

证明：任意连续 100 个正整数的乘积不是完全平方数.

已知正整数 n_1<n_2<\cdots<n_k，证明：P(z)=1+z^{n_1}+z^{n_2}+\cdots+z^{n_k}=0 在 |z|<\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} 内没有根，其中 z\in\mathbb{C}.

第十期：

若 p_1,p_2,\cdots p_n 是小于 2^{100} 的所有素数从小到大的排列，证明：S=\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\cdots+\frac{1}{p_n}<10.

设奇数 n>1，求 \prod\limits_{k=1}^m\cos\dfrac{a_k\pi}{n}.其中， a_1,a_2,\cdots,a_m 为所有不大于 n 且和 n 互质的正整数.

给定正整数 n.对于 x_i\in[-1,1](i=1,2,\cdots,2n)，求 \sum\limits_{1\le r<s\le 2n}(s-r-n)x_rx_s 的最大值.

若 a_1=1,b_1=\tan\theta,a_n=a_{n-1}\cos\theta-b_{n-1}\sin\theta,b_n=a_{n-1}\sin\theta+b_{n-1}\cos\theta,\theta\in(0,\frac{\pi}{2})，

求 \{a_n\},\{b_n\} 的通项公式.

给定正整数 N\ge4，证明：一定存在严格递增的正整数数列 \{a_n\}(n\ge1)，使得对于任意正整数 n，有

第十一期

设 p>3 为素数。证明：存在连续三个整数，它们都不是模 p 意义下的二次非剩余。

Find the sum of all the positive solutions of

在一个 2018\times2018 的棋盘上放置着 2018 个不能互相攻击皇后，证明：存在两个皇后，她们的外接矩形（即皇后在对角线两端）的半周长为 2018。

设 n 个复数的模的和为 1。证明：其中必存在若干个复数，它们的和的模不小于 \frac16.

对于任意正整数 n，证明：

如图，\triangle ABC 的外心为 O，BC 的中垂线交圆 O 于 M,N，D,E 为 AB,AC 中点。设 OE 与 AN 交于 P，证明：A,M,D,P 共圆。

设正整数 a,b 满足：对于任意正整数 n，有 s(an)=s(bn)，其中 s(x) 表示正整数 x 在十进制下各位数字之和。证明：

第十一期：

在\triangle ABC 内有一点 O，CO\cap AB=D,BO\cap AC=E,AO\cap \odot(ABC)=F，\odot(ABC) 在 B,C 处切线交于 G，GF\cap \odot(ABC)=H，H 关于 BC 对称点 I. 证明：\odot(ABC),\odot(ADE),\odot(OFI) 共点。

设 a,b,c 为两两不等的正实数。证明：

（2021 中国东南数学奥林匹克，十年级组，第二天第三题）

在 \triangle ABC 中，证明：

求所有正整数 n，使得对任意与 n 互质的正整数 a，有

（2015 土耳其数学奥林匹克）

将圆周上 1994 个点染 10 种颜色。已知任意相邻 100 个点中出现所有 10 种颜色，求证：存在相邻 90 个点中出现所有 10 种颜色。