概率与期望
MCAdam
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个人记录
一些定义
$\omega$：基本事件（样本点），一次试验可能出现的每一个直接的结果
$\Omega$：样本空间，所有基本事件的集合
$A,B,C...$：随机事件，即样本空间的子集
必然事件：$\Omega
不可能事件：\phi
事件包含：A发生，则B一定发生，有A\subset B
事件的和：A和B中至少有一个发生，A\cup B或者A+B
事件的积：A和B同时发生，A\cap B或者AB
为了方便，后面所有有关集合的运算全部用加减乘来表示
互斥事件：事件A和B不能同时发生，即A B=\phi。基本事件一定是互斥的
对立（逆）事件：事件A和事件B有且仅有一个发生，即AB=\phi,A+B=\Omega。A,B互为逆事件，可记为A=\bar{B}或B=\bar{A}
事件的差：事件A发生，而B不发生，记为A-B，有A-B=A-AB=A\bar{B}
概率
若对于E的每一个时间A，都对应一个实数P(A)，满足：
非负性：P(A)\geq 0
正则性：P(\Omega)=1,P(\phi)=0
可列可加性：若A_1A_2...A_m=0，有：
P(\sum\limits_{i=1}^{m}A_i)=\sum\limits_{i=1}^{m}P(A_i)
P(A)=1-P(\bar{A})
P(AB)=P(A)P(B)
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
容斥原理也同样适用：
\displaystyle P(\sum\limits_{1\leq i\leq m}A_i)=\sum\limits_{1\leq i\leq m}P(A_i)-\sum\limits_{1\leq i\leq j\leq m}P(A_iA_j)+...+(-1)^{m+1}P(A_1A_2...A_m)
那么P(A)就称为A在实验E发生中的概率
条件概率公式：P(B\mid A)=P(AB)/P(A)，即在事件A发生的条件下，B发生的概率
全概率公式：
若B_i是对\Omega的一个划分，有：
\displaystyle P(A)=\sum\limits_{i=1}^{m}P(B_i)P(A\mid B_i)
证明：
\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{m}P(B_i)P(A\mid B_i)=\sum\limits_{i=1}^{m}P(B_i)P(AB_i)/P(B_i)=\sum\limits_{i=1}^{m}P(AB_i)=\sum\limits_{i=1}^{m}P(A)P(B_i)=P(A)
期望
这里写的是基于离散型随机变量上的期望
数学期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，它反映随机变量的加权平均值的大小
设随机变量X的取值为X_1,X_2,...,X_m，那么随机变量X的期望值
\displaystyle E(X)=\sum\limits_{i=1}^{m}P_iX_i
期望的一些性质：
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
E(CX)=CE(X)
由此得出期望的线性性：
\displaystyle E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)
具体运用
一个奇奇怪怪的例子（三门问题）：
三扇门，两扇门后有山羊，一扇门后有汽车。一开始你随便挑选一扇门，然后告诉你另外两扇门中的一扇后是山羊，问坚持原来这扇门，还是剩下那一扇门获得汽车的概率更大？
对于这些概率或者期望问题要站在上帝视角
设三扇门为A,B,C。假设一开始选了A，那么车在A中的概率就是\frac{1}{3}，车在B,C中的概率是\frac{2}{3}。然后假设知道B后是羊，那么车在C中的概率就是\frac{2}{3}，在A中的概率并不会因此而改变，所以要换。。。。
回归到OI上来期望DP