高中数学笔记 - 统计 & 概率 & 组合

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统计

简单随机抽样：1. 个体数有限 2. 逐个抽取 3. 被抽到的概率相等。

例：10 个个体里抽一个容量为 n 的样本， 某个个体 A 第一次被抽到的可能性为 ？第二次被抽到的可能性为 ？

第一次：\frac{1}{10} 第二次：\frac{9}{10}\times\frac{1}{9}=\frac{1}{10}

随机数表题：范围 [0,39]，有以下随机数表，从第 1 行第 3 列开始，选出的数依次为 36,33,26,16,11,14,10。

0347 4373 8636 9647 3661 4698
6371 6233 2616 8045 6011 1410

总体平均数：\bar{x}=\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i\ \ \text{} 中位数：\begin{cases}x_{\lceil\frac{n}{2}\rceil} & x\ \mathrm{mod}\ 2\equiv 1 \\ \frac{x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1}}{2} & x\ \mathrm{mod}\ 2\equiv 0\end{cases}\ \ \text{}

众数：出现次数最多的数据，不一定唯一，也不一定有众数。

极差：\max{\set{x_i}}-\min{\set{x_i}}\ \ \ \ \text{} 标准差：s=\sqrt{\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}

\begin{aligned}方差：s^2&=\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i^2-2x_i\bar{x}+\bar{x}^2)=\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i^2-\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}2x_i\bar{x}+\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\bar{x}^2\\&=\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i^2-2\bar{x}^2+\bar{x}^2=\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i^2-\bar{x}^2\end{aligned}

若采用分层随机抽样，分 n 层，样本数 m_1,m_2,\dots,m_n，平均值 x_1,x_2,\dots,x_n，\\ 则样本平均数 \bar{x}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{m_i\cdot x_i}{\displaystyle\sum_{j=1}^{n}m_j}，注意样本平均数 \neq 总体平均数。

分层随机抽样需按比例分配：\frac{总体中第\ m\ 层个体数}{总体中第\ n\ 层个体数}=\frac{样本中第\ m\ 层个体数}{样本中第\ n\ 层个体数} 且 \frac{样本中第\ m\ 层个体数}{总体中第\ m\ 层个体数}=\frac{样本容量}{总体容量}

第 p 百分位数：数据中至少有 p\% 的数据 \leq 这个值，至少有 (100-p)\% 的数 \geq 这个值。

第 25 百分位数：第一四分位数 / 下四分位数；第 75 百分位数：第三四分位数 / 上四分位数；第 50 百分位数：中位数。

已知数据求第 p 百分位数：1. 从小到大排序，令 i=n\times p\% 2. \begin{cases}\text{ans}=\frac{a_i+a_{i+1}}{2} & \lfloor i \rfloor = i \\ \text{ans}=a_{\lceil i \rceil} & \lfloor i \rfloor \neq i \end{cases}

格式要求：\begin{cases}[a,b) 的频率 <x\% \\ [a,c)的频率>x\%\end{cases}\implies 第 x 百分位数在 [b,c) 内。

特别地，只有 $2$ 层时，若： | 第 $1$ 层 | $m$ 个数 | $\bar x$ | $s^2$ | |:-:|:-:|:-:|:-:| | 第 $2$ 层 | $n$ 个数 | $\bar y$ | $t^2$ | 则总平均数 $\displaystyle\bar a=\frac{m\bar x+n\bar y}{m+n}$，总方差 $\displaystyle b^2=\frac{ms^2+nt^2+m(\bar x-\bar a)^2+n(\bar y-\bar a)^2}{m+n}

若数据 x_1,x_2,\dots,x_n 的平均数 \bar x，方差 s^2，标准差 s，则数据 mx_1+a,mx_2+a,\dots,mx_n+a 的平均数 m\bar{x}+a，方差 s^2m^2，标准差 sm。

线性回归问题的一般步骤：

  1. 列表 + 画散点图

    x x_1 x_2 \dots x_n
    y y_1 y_2 \dots y_n

  2. 通过公式求 \hat b,\hat a。

\hat b=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_iy_i-n\bar x\bar y}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i^2-n\bar x^2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \hat a=\bar y-\hat b\bar x
  1. 根据直线方程一定过 \bar x,\bar y 得出 \hat y=\hat bx+\hat a。

如果散点均匀分布在回归直线的两侧，那么回归效果就好

如果 \hat b > 0 则两变量正相关，反之则负相关，也可利用样本相关系数 r 来判断。

$$r=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar y)^2}}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_iy_i-n\bar x\bar y}{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i^2-n\bar x^2}\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}y_i^2-n\bar y^2}}$$ 非线性回归方程：转化为线性回归方程。 1. 幂函数型：$y=c_1x^{n}+c_2\ (n$ 一般为 $\frac{1}{2}$ 或 $2)$。 变换：令 $t=x^n,b=c_1,a=c_2$，则 $y=bt+a$。 2. 指数型：$y=c_1e^{c_2x}$。 变换：两边取对数并令 $z=\ln y,a=\ln c_1,b=c_2$，则 $z=bx+a$。 变换后，需转化原函数关系，一般用相关指数来看拟合效果的强弱。（ 注：非线性的不能用相关系数 $r$ ） # 概率 ### 基本概念 - 随机试验：对随机现象的实现和观察，用 $E$ 表示。 - 样本点：$E$ 的每个可能的基本结果，用 $\omega$ 表示。 - 样本空间：全体 $\omega$ 的集合，用 $\Omega$ 表示。 - 有限样本空间：若一个随机试验有 $n$ 个可能结果 $\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_n$，则称样本空间 $\Omega=\set{\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_n}$ 为有限样本空间 $\\$（ 即 $\Omega$ 为有限集 ）。 - 随机事件：$\Omega$ 的子集，简称事件，用大写字母 $A,B,C,\dots$ 表示，当且仅当 $A$ 中的某个样本点出现时，称事件 $A$ 发生。 - 基本事件：只包含一个样本点的事件。 - 必然事件：$\Omega$ 作为自身的子集，包含了所有样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，即 $\Omega$ 总会发生。 - 不可能事件：$\varnothing$ 不含任何样本点，在每次试验中都不会发生，必然事件与不可能事件不具有随机性。 ### 事件的关系和运算 | 事件的关系 | 含义 | 符号表示 | | :-------------: | :-------------------------: | :---------------------------------------------: | | 包含 | $A$ 发生 $\implies B$ 发生 | $A\subseteq B$ | | 并事件 / 和事件 | $A$ 和 $B$ 至少一个发生 | $A\bigcup B$ 或 $A+B$ | | 交事件 / 积事件 | $A$ 和 $B$ 同时发生 | $A\bigcap B$ 或 $AB$ | | 互斥 / 互不相容 | $A$ 和 $B$ 不能同时发生 | $A\bigcap B=\varnothing$ | | 互为独立 | $A$ 和 $B$ 有且仅有一个发生 | $A\bigcap B=\varnothing$ 且 $A\bigcup B=\Omega$ | 如果 $A,B$ 互斥，记 $\bar{A},\bar{B}$ 分别为 $A,B$ 的对立事件。 若 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$，则事件 $A$ 和事件 $B$ 相等，$A=B$。 对于三个事件 $A,B,C$，$A\bigcup B\bigcup C$ 或 $A+B+C$ 表示 $A,B,C$ 至少一个发生，其余同理。 ### 古典概型 - 满足有限性（ 有限样本空间 ）、等可能性。 - 设 $E$ 为古典概型，样本空间 $\Omega$ 包含 $n$ 个样本点，事件 $A$ 包含其中的 $k$ 个样本点，则事件 $A$ 的概率为 $P(A)=\frac{k}{n}=\frac{n(A)}{n(\Omega)} \\ n(A),n(\Omega)$ 表示事件 $A$ 和样本空间 $\Omega$ 包含的样本点个数。 ### 概率的基本性质 1. $\forall A,0\leq P(A)\leq 1
  1. 必然事件 \Omega 概率为 P(\Omega)=1，不可能事件 \varnothing 概率为 P(\varnothing)=0。
  2. 若 A,B 互斥，则 P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)； \\ 推广：若 A_1,A_2,\dots,A_m 两两互斥，则 P(A_1\bigcup A_2\bigcup\dots\bigcup A_m)=\displaystyle\sum_{i=1}^{m}P(A_i)
  3. 若 A,B 对立，则 P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B)；若 P(A)+P(B)=1，则 A,B 不一定对立。
  4. 若 A\subseteq B，则 P(A)\leq P(B)（ 概率的单调性 ）。
  5. 设 A,B 为随机试验中的两个事件，则 P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(A\bigcap B) （ 容斥原理 ）。
  6. 对任意 2 个事件 A,B，若 P(AB)=P(A)P(B)，则 A 与 B 相互独立，记 A,B 的对立事件分别为 \bar{A},\bar{B} \\ 因事件 A,B 的发生互不影响，则 A 与 \bar{B}，\bar{A} 与 B，\bar{A} 与 \bar{B} 也相互独立。
  7. 若 A,B,C 两两独立，则 P(ABC)\neq P(A)P(B)P(C)。
  8. \bar{A}\cap\bar{B}=\overline{A\cup B},\bar{A}\cup\bar{B}=\overline{A\cap B}
事件含义 事件表示 概率 A,B 互斥 A,B 相互独立
A 和 B 至少一个发生 A\bigcup B P(A\bigcup B) P(A)+P(B) 1-P(\bar{A})P(\bar{B})
A 和 B 同时发生 AB P(AB) 0 P(A)P(B)
A 和 B 都不发生 \bar{A}\bar{B} P(\bar{A}\bar{B}) 1-[P(A)+P(B)] P(\bar{A})P(\bar{B})
A 和 B 只有一个发生 A\bar{B}+\bar{A}B P(A\bar{B}\bigcup\bar{A}B) P(A)+P(B) P(A)P(\bar{B})+P(\bar{A})P(B)

组合计数

  1. 有 n 个完全相同的元素，要求将其分为 k 组，保证每组至少有一个元素，一共有多少种分法？\\ 考虑拿 k-1 块板子插入到 n 个元素两两形成的 n-1 个空里面。\\ 答案为 \begin{pmatrix}n-1 \\ k-1\end{pmatrix} \\ 本质是求 x_1+x_2+\dots+x_k=n 的正整数解的组数。\\

  2. 若问题变换一下，每组允许为空？\\ 考虑创造条件转化成有限制的问题一，先借 k 个元素过来，在这 n+k 个元素形成的 n+k-1 个空里面插板。\\ 答案为 \begin{pmatrix}n+k-1 \\ k-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n+k-1 \\ n\end{pmatrix} \\ 本质是求 x_1+x_2+\dots+x_k=n 的非负整数解的组数。

  3. 再扩展一步，要求对于第 i 组，至少要分到 a_i 个元素呢？（ \sum a_i\leq n ）\\ 本质是求 x_1+x_2+\dots+x_k=n 的解的数目。\\ 类比无限制的情况，我们借 \sum a_i 个元素过来，保证第 i 组能至少分到 a_i 个，也就是令 x_i'=x_i-a_i 且 x_i'\geq 0 \\ 得到新方程

    (x_1'+a_1)+(x_2'+a_2)+\dots+(x_k'+a_k)=n

    转化为

    \displaystyle\sum_{i=1}^{k}x_i'=n-\sum a_i

    答案为

    \begin{pmatrix}n-\sum a_i+k-1\\k-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n-\sum a_i+k-1 \\ n-\sum a_i\end{pmatrix}
(a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}C_n^ka^kb^{n-k}\ \ \ \ \ \ \ (ax+by)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}C_n^ka^kb^{n-k}x^ky^{n-k}

证明可利用数学归纳法，利用 \begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n \\ k-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n+1 \\ k\end{pmatrix}

若将二项式定理扩展成多项式的形式，有：

(x_1+x_2+\dots+x_t)^n=\displaystyle\sum_{满足\ n_1+n_2+\dots+n_t=n\ 的非负整数解}\begin{pmatrix}n \\ n_1,n_2,\dots,n_t\end{pmatrix}x_1^{n_1}x_2^{n_2}\dots x_t^{n_t}

其中 \begin{pmatrix}n \\ n_1,n_2,\dots,n_t\end{pmatrix} 是多项式系数，满足 \displaystyle\sum \begin{pmatrix}n \\ n_1,n_2,\dots,n_t\end{pmatrix}=t^n。

\displaystyle\sum_{i=0}^{k}\begin{pmatrix}n \\ i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}m \\ k-i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n+m \\ k\end{pmatrix} C_n^m\equiv C_{n\ \text{mod}\ p}^{m\ \text{mod}\ p}\times C_{n/p}^{m/p}\ (\text{mod}\ p) Cat_n=\frac{C_{2n}^n}{n+1}
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Cat_n 1 2 5 14 42 132 429 1430 4862 16796

以下问题都与 \text{Catalan} 数有关：

  1. n$ 个左括号和 $n$ 个右括号组成的合法括号序列的数量为 $Cat_n
  2. 1,2,\dots,n$ 经过一个栈，形成的合法出栈序列的数量为 $Cat_n
  3. n$ 个节点构成的不同二叉树的数量为 $Cat_n$，$n$ 个节点的 $m$ 叉树有 $\frac{\begin{pmatrix}nm \\ n-1\end{pmatrix}}{n}
  4. 在平面直角坐标系上，每一步只能向上或向右走，从 (0,0) 走到 (n,n) 并且两个端点外不接触直线 y=x 的路线数量为 2Cat_{n-1}
  5. 对于一个凸多边形的顶点数为 n，Cat_{n-2} 代表所有可能的三角剖分的数量。
|\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}S_i|=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}|S_i|-\displaystyle\sum_{1\leq i<j\leq n}|S_i\bigcap S_j|+\displaystyle\sum_{1\leq i<j<k\leq n}|S_i\bigcap S_j\bigcap S_k|+\dots+(-1)^{n+1}|S_1\bigcap\dots\bigcap S_n| S_1(n,m)=S_1(n-1,m-1)+S_1(n-1,m)\times(n-1) S_2(n,m)=S_2(n-1,m-1)+S_2(n-1,m)\times m D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2))=n\times D(n-1)+(-1)^n