三角函数初步----知识
xhsy20231024
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2025-08-12 17:13:34
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学习·文化课
致年少的自己和亲爱的同桌
三角函数初步
0. 引言
哇……三角函数听起来非常的高大上对吧，听说高中的哥哥姐姐们经常对三角函数犯错。那我们也开始步入万丈深渊吧（其实不难啊）。
1. 任意角
角是啥呢？差不多呢，就可以看作时平面内的一条射线对吧，绕着它的一个端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形。射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边。
感觉……好像不是很抽象对吧。
就像下面这张图，射线 OA 绕着端点 O ，按箭头所示方向旋转到 OB 便形成了角 \alpha 。点 O 是角 \alpha 的顶点，射线 OA 和 OB 分别为角 \alpha 的始边和终边。因此，361\degree 就是旋转一周之后紧接着旋转了 1\degree 所形成的角；720\degree 就是旋转两周所形成的角；旋转两周半，就是旋转了 900\degree 的角。
但是呢，顺时针旋转的和逆时针旋转的角大概应该是不同的，为了区分，我们把逆时针旋转的角叫做正角 ，把顺时针旋转的角叫做负角 。如果一条射线没有作任何旋转，我们也把它看成一个角，叫做零角 。
对于两个任意角 \alpha ,\beta ，将角 \alpha 的终边旋转角 \beta （当 \beta 是正角是逆时针旋转；当 \beta 时，按顺时针旋转；当 \beta 是零角的时候，不旋转），这是终边所所对应的角就成为 \alpha 与 \beta 的和，记作 \alpha+\beta 。射线 OA 绕端点 O 分别按逆时针、顺时针方向旋转相同的量的两个角记作相反角。角 \alpha 的相反角记作 -\alpha 。
于是有
\alpha-\beta=\alpha+(-\beta)
为了便于研究，我们今后常以角的顶点为坐标原点，叫的始边为正半轴，建立平面直角坐标系。这样，角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角。同时，如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角。
思考：(\ 1\ )\ -300\degree,-150\degree,-60\degree,60\degree,210\degree,300\degree,420\degree 角分别是第几象限角，其中那些角的终边相同？
$$
\begin{align*}
一般地，与角\alpha终边相同地角的集合为\\
\{\beta|\beta=k\cdot360\degree+\alpha,k\in \Z\}.
\end{align*}
$$
### 2. 弧度制
我呢，从小时候就觉得角度制是一个异类，我也不知道为什么，可能是因为$90\degree$看起来不那么规整吧。从现在开始，角可以有一个新的单位了想想就兴奋。
一个角所对的弧长比上圆的半径就是这个角的弧度值，单位是$\text{rad}$。是不是有点抽象？
就拿上边这张图来举个例子吧：$\theta$的弧度值就是$\frac{\overgroup{AB\,}(也就是l)}{r}\text{rad}
根据相似（圆）的性质，我们可以很快推出对于任意的\theta ,它的弧度值是确定的，所以我们通常取r=1 ,如下图所示：
注：半径为1的圆叫单位圆
这个时候，\theta=\overgroup{AP\,} 了对吧，但是这么大搞一通，弧度值相对于角度制有什么优势呢？
答案是没有什么优势有很大的优势，你先别往下看，你来算一下扇形POA 的面积？
\begin{align*}
S &= \frac{\theta}{2\pi}\times\pi r^2\\
&= \frac{\theta r^2}{2}
\end{align*}
不止这些，这个时候\overgroup{AP\,} 就等于\theta 。
现在看起来，我们就有了一个比角度值好了不知道多少倍的单位。
在不引起歧义的情况下，我们不妨将 \text{rad} 省略，就是类似 2\pi 之类的。
其实呢，弧度值的好处不止这些，它不仅简便了运算，还便于之后的导数、积分等运算，这些之后再讲吧
3. 三角函数概念
好的，初中学过锐角三角函数的同学都知道，对于 \triangle ABC ，由如下关系式：
\begin{align*}
&(\ i\ )正弦(sine)\sin\alpha=\frac{a}{c}\\
&(\ ii\ )余弦(cosine)\cos\alpha=\frac{b}{c}\\
&(\ iii\ )正切(tangent)\tan\alpha=\frac{a}{b}\\
&(\ iv\ )余切(cotangent)\cot\alpha=\frac{b}{a}\\
&(\ v\ )正割(secant)\sec\alpha=\frac{c}{b}\\
&(\ vi\ )余割(cosecant)\csc\alpha=\frac{c}{a}
\end{align*}
但是……这些公式只限锐角吗。比如 180\degree 的正切是多少呢？
我们不妨再次搬出平面直角坐标系，一顿摆弄：
你们看，当点 P 在第一象限的时候，P 的坐标是啥呢？（圆的半径是1 ）对了，是(\cos\alpha,\sin\alpha) ，那么我们不妨就把 \sin 和 \cos 延拓出去（字面意思），所以就是当 P 在其他象限的时候，P 的坐标也是 (\cos\alpha,\sin\alpha) 。
所以\cos\pi=-1,\sin\frac{3\pi}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2} ，以此类推。
那有的好奇宝宝就要问了，说那 \tan 以及其他的呢？
注意到 \tan=\frac{\sin}{\cos} ，我们不妨把这个作为 \tan 的定义。
同理，我们定义：
\sec\alpha=\frac{1}{\cos\alpha}\\
\csc\alpha=\frac{1}{\sin\alpha}\\
好的，三角函数的概念就到这里啦。
4. 一些公式
众所周知，三角函数有下列公式（请yxr 同学好好的背下来）
\sin(\alpha+2k\pi)=\sin\alpha\quad(k\in\Z)\\
\cos(\alpha+2k\pi)=\cos\alpha\quad(k\in\Z)\\
\tan(\alpha+2k\pi)=\tan\alpha\quad(k\in\Z)\\
\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\\
\cos(-\alpha)=\cos\alpha\\
\tan(-\alpha)=-\tan\alpha\\
\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\\
\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\\
\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha\\
\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha\\
\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\\
\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha\\
\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha\\
\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha\\
\tan(\frac{\pi}{2}-\alpha)
=\cot\alpha\\
\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos\alpha\\
\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\sin\alpha\\
\tan(\frac{\pi}{2}+\alpha)
=-\cot\alpha\\
上边这些公式统称诱导公式，俗称“奇变偶不变，符号看象限”，在之后我会在一篇文章内把这些都证明了。
5. 休息一下
这
三角函数之歌挺好听的，@随便15