集合论

rfsfreffr · 2024-07-24 20:21:41 · 个人记录

仅代表个人理解，做理解用，关键的证明我会记上。

仅整理部分我觉得我看不太明白的定义啥的，更多丰富的内容看书，定义我也懒得一个一个给出了，目前计划中第一章是决定认真给出所有定义及其证明的，因为我对这一部分很不懂。

后面的章节暂且未定，毕竟主要丰富的内容都在原书上，我可能会偏向于给出一些略去的推论证明。

呜呜还有好多证明以及一些证明的细节我还没搞懂，慢慢补上QAQ

1.1 朴素集合论

“集合意谓吾人感知活思想中一些确定的，并且相互去别的对象汇集而成的整体” ------ G.Cantor

即指出集合应有的特征：对象互相区分，无序的，确定的，整体的。

这样的定义其实相当的审慎与得当，很好的描绘了一个直觉性的集合图示——即将一些不同的对象放在一个篮子里，方便我们对其进行讨论。

但这又会延申出一些问题：何为等价？何为对象？

著名的罗素悖论提出了像这样一个集合:

或者像这样一个集合：

你会对他们感到困惑，这都提醒我们需要一个更完备，完整的集合论体系。

1.2 ZFC 公理

简单介绍ZFC公理，不做严谨说明。

或许我们首先要承认一阶逻辑和二元谓词的自明性。

关于一阶逻辑更具体的引入与介绍

其次，ZFC公理是为了限制集合的存在的，即指明只能允许以何种方式构造集合。

也就是说，我们现在有的对象，即参与讨论的对象，其实都是集合。

公理 1.2.0(存在公理): 存在一个集合.

值得注意的是，我们可以讨论不存在的事物的性质，有时可借此证明他不存在。这启示了我们不仅可以对存在的对象进行操作。

故而这个公理更像是一个哲学上的操作而非数学操作。

我们给予集合一个本体论地位而不仅仅是认识论地位。

公理 1.2.1(外延公理): 若两个集合有相同元素，则两者相等。即 A=B \leftrightarrow (x \in A \leftrightarrow x \in B).

由于集合本身也可以作为对象，于是也可以认为：当两个集合有相同的元素时，我们不区分他们，并将其视为相同的实体。

而这其实也给出了在集合论中的严格相等的定义，用其也可以声明空集的唯一性。

公理 1.2.2(配对公理): 对于任意两个对象 x,y, 存在集合 \{ x, y \}

公理 1.2.3(分离公理模式): 设 P 为关于集合的一个性质，并以 P(u) 表示为集合 u 满足性质 P，则对任意集合 X 存在集合 Y= \{ u \in X:P(u) \}

什么是性质，这似乎是很直觉的，但考虑这样一个例子。

你能区分：x 是个偶数 和 x=2 \bigvee x=4 \bigvee x=6..... 吗。

他们其实在说同样一件事情，其关键在于——在同一个集合中取出了相同的一个子集，这才是性质对应的操作。

而我们看起来就像从原来的集合中抽取了一些元素出来，故而叫做分离公理，而对于任意的性质 P(u)，均存在这样的公理，故而这条公理被称为公理模式。

同时值得注意的是，这条公理也声明了 X 是一个集合，即只能从集合中分离出一些元素成为一个新的集合。

这个公理也可以看成：对于任意集合 X ，他的任意子集存在，是一个构造性公理。

公理 1.2.4(并集公理): 对任意集合 X ，存在集合 \bigcup X:= \{u: \exist \ v \in X, 使得 u \in v \}

由外延公理可声明集合 \{ x,y \}, \{u,v \} ,\{ \{x,y \}, \{u,v \} \} 的存在。

再由并集公理就可以声明 \{ x,y,u,v \} 的存在。

再利用分离公理模式可以声明：对于有限个任意元素，存在一个包含他们的集合。

公理 1.2.5(幂集公理): 对任意集合 X, 其子集构成集合 Y= \{ u| u \subseteq X \}

即声明对一个集合，其子集组成的集合存在。

公理 1.2.6(无穷公理): 存在集合 \exist X,[(\emptyset \in X) \wedge \forall y \in X , y \cup \{y \} \in X]

即规定了一个无穷集的存在。

公理 1.2.7(替换公理模式): 我们可以通过一个映射将集合内的元素替换成其他元素，这样操作后的集合任然存在。

公理 1.2.8(正则公理): 任意非空集合存在对于从属关系的 \in 的极小元素, 或可表述为：对于任意集合 X 存在元素 Y \in X, 使得 X \bigcap Y = \emptyset

这条就是限制集合范围的公理，可以由其说明全集与罗素悖论对应的集合不存在不存在。

公理 1.2.9(选择公理): 存在集合 X, 其每一个元素都非空，则存在函数 g:X \rightarrow \bigcup X 使得 \forall x \in X, g(x) \in x。

即建立映射使得大集合中每一个元素都被函数映射成一个该元素内的元素。

反过来说就是，我们可以从任意多（包括无限个）个集合中各选一个元素组成一个新的集合，这样的集合存在。

对于有限多的情况，似乎可以直接由前面的公理得到，然而对于无限多各集合的情况，只能再加入一条公理。

有了这些公理，我们可以简单的证明一些命题。

引理 1.2.10: 不存在集合 X ，满足 X \in X.

证明：

设集合 X 是一个满足 X \in X 的集合。

我们取集合 \{ X \} （易见其存在性）， 再应用正则公理，在这里我们只能取 Y=X, 而 X \in X 且 X \in \{ X \}, 故而 X \cap \{ X \} 非空，不符合正则公理，矛盾。

命题 1.2.11: 不存在集合 X = \{x | x= x \}.

显然 X = X \Rightarrow X \in X, 再应用 1.2.10 则证。

命题 1.2.12: 不存在集合 X = \{ x | x \notin x \}.

证明：

若集合 X \in X, 则由 1.2.10 可知其不是集合。故而 X \notin X, 而这意味着 X \in X, 矛盾。

1.3 序结构与序数

注意，我们现在还尚未有正整数这样的实体，序数任然是集合，但是我们可以通过替换公理模式得到通常意义下的正整数集合 \Z。

对于这些任意元素组成的序结构，经由简单的图论描述理解比较形象方便，但是这是不严谨的想象，不懂得图论概念可以百度（

为什么序结构如此重要？关键在于集合本身其实是无序的实体。然而我们的意识直觉中天然具有某种有序性，而我们在面对很多种资料的时候也需要一种“序”。而在集合本身的元素是无序的同时，而 \in ,\subseteq 集合本身的二元关系为我们构造出我们想要的序结构提供了可能。

定义 1.3.1： 我们在集合 P 上定义二元偏序关系 \le ，其满足：

1. 反身性： \forall x \in P, x \le x

2. 传递性： (x \le y) \wedge (y \le z) \rightarrow (x \le z)

3. 反称性： (x \le y) \wedge (y \le x) \rightarrow x=y

其反转自明的定义偏序关系 \ge，而 x \le y \wedge x \neq y \Leftrightarrow x <y 定义了二元关系 <, 其反转则得到 > .

故而偏序建立了这样一个结构，在图 P 中的很多点，都形成自环，且他们的边的建立满足传递性的构造。

而那些可以被在有向图意义上可被缩点的部分可视为一堆因为反称性而不必区分的对象，可记他们为相等，并在图上缩掉。同时那些由传递性构成的新边可以略去不看，我们可以想象一个只保留 “关键的边”的图（结构）。

没有反称性的结构称为 预序集，会出现这种情况的原因是，在一些结构中我们不必依据我们定义的偏序关系来给出两个对象在集合论意义下严格相等，而只是称他们在这个偏序关系下等价。

定义 1.3.2 : 设 P' \subset P , 而 P 是预序集。

$\forall y \in P',y \le x$, 则称 $x \in P$ 是 $P'$ 的上界 $x$ 是 $P'$ 的上界，若对于每一个 $y$ 也是 $P'$ 的上界，且 $x \le y$ ，则称 $x$ 是 $P'$ 上确界。

尽管 P 是预序集，我们仍能主动的将强连通分量做标记缩点的操作，只是这样做想象，好为我们在简化理解上对结构进行图意义上的分类。

同理可以定义极小元，下界，下确界。

而对于偏序集，由于缩点的效果，对于子集 P' 的上确界和下确界是唯一的，分别即为 \text{sup} \ P', \text{inf} \ P'。他们就像树上链的两端将 P' 保住。

值得注意的是，根节点不一定存在（无限向上延伸）。

定义 1.3.3: 若偏序集 P 非空，且对于任意5过 x,y \in P 有 \{ x,y \} 存在上界，则称 P 是滤过序集。

即任意俩个节点都存在一个公共祖先，使得滤过序集会是一颗树，而不再是森林。

定义 1.3.4: 若偏序集 P 中任一对元素 x,y 都可以比较大小，则称 P 为全序集/线序集/链。

定义 1.3.5: 若全序集 P 的每个非空子集均有极小元，则称其为良序集。

值得注意的是，我们引入图结构只是为了理解，在有限的情况下以上想象都不会遇到很大的问题。但是对于无限的情况，如果仍然用无限的链理解良序集，就是有问题的，因为良序定义的是：“任意非空子集有极小元”（回忆极小元的定义），而不是 “可以吧这些元素排成一个链”。即使我们有良序定理：对于任意大的集合我们都可以使其良序化，但是这并不意味着我们可以像正整数或者有理数一样给他指出一个后继，经管两种定义在有限集合上是一样的，但是请注意他们在定义上是严格不同的。

接下来我们引入序数的概念。

最好说，序数是我们本来理解的正整数这样可以“数”并且能比大小的集合的“最广的推广”。

换句话说，我们熟知的正整数集合是一个与序数概念类比的概念/例子，但是我们在研究序数的时，可以只从序数的集合性质入手，而不在意具体的可对应的例子。

我们也可以把我们在定义序数时赋予他的性质决定了他的结构，而这些性质也可以被看做这种结构经由最简化的信息被给出。

我们给出一个简单的定义有序对 (a,b) 的方式 ,即给出 :

在这个定义下，我们发现 (读者自证不难):

类似的:

在这个例子下，我们给出序数的一般定义 :

定义 1.3.6: 如果一个集合 \alpha 的每个元素都是 \alpha 的子集,则称 \alpha 是传递集（此性质无非就是 \alpha \subseteq P(\alpha)），若传递集 \alpha 对于 \in 构成良序集 (注意在这里 \in 地位类似于 < , 则这个意义下 \le 是属于或等于)，则称 \alpha 为序数。

其中传递集性质的引入是较为突兀的，有机会再想想。

引理 1.3.7: 序数有一下性质

$(\text{ii})$ 对于任两个序数 $\alpha,\beta$ , 若 $\alpha \subsetneq \beta$, 则 $\alpha \in \beta (\text{iii})$ 对于任两个序数 $\alpha,\beta$ , 必有 $\alpha \subseteq \beta$ 或 $\beta \subseteq \alpha

证明：

对于 (\text{i}) : 首先有 \beta \subseteq \alpha。 然后考虑到 \alpha 对于 \in 是一个良序集，根据良序集的定义 \beta 显然也是良序集。

再证 \beta 是传递集，即证明 \beta \subseteq P(\beta).

这是显然的，因为:

即证。

对于 (\text{ii}):

由于序数梦幻般的性质，我们想出一个很有意思的证法，自从 \alpha \subsetneq \beta,我们考虑集合 \beta \ \alpha 关于 \in 的二元关系的极小元：\gamma = \min \beta \setminus \alpha. 正则公理保证了这样一个元素存在，且其满足:

我们断言 \alpha = \gamma, 这样就证明了 \alpha \in \beta.

考虑如何证明，先证明 \alpha \subseteq \gamma .

我们希望序数拥有的性质实际上让我们想去证明:

考虑到 \beta 对于 \in 关系全序的性质，即:

必须有一个成立。故而有以下等价命题:

我们假设 \exist \ c \in a, 由于 a \in \alpha, 而 \alpha 是传递集，则有 a \subseteq \alpha, 那么:

故而 c \in \alpha ，这与 c \in \beta \setminus \alpha 矛盾。

取 c= \gamma, 则证明了 \alpha \subseteq \gamma.

我们再来证明 \gamma \subseteq \alpha. 注意到我们实际上有 :

这为我们去思考 \gamma \subseteq \alpha 提供了强烈的信心!

很显然的:

进而可以得到:

这无非就是 x \in \alpha, 即证明了 y \subseteq \alpha.

证毕.

对于给定的序数 $\alpha$,我们考虑记 $\alpha+1=\inf \{ \beta : \beta >\alpha \} = \alpha \sqcup \{ \alpha \} $, 称其为 $\alpha$ 的**后继**。 而对于那些不是任何序数后继的序数我们称其为**极限序数**，不难看出若 $\alpha$ 是极限序数则 $\alpha = \sup \{ \beta :\beta < \alpha \}$（极限序数特有），约定 $\emptyset$ 也是极限序数。

证明：不难用 1.3.7 说明。

命题 1.3.9: 序数类 On 是真类。

也就是说我们对所有序数作为对象组成的类不是集合。

证明：

设 On 是集合，则 \sup On 也是一个序数，进而 \sup On +1 也是一个序数。 有 \sup On +1 \in On.

相当于我们取出了一个 t \in On 使得 \sup On \in t, 而根据定义 \sup S =\bigcup S， 故而 t \in t，这也就是在说 t < t ， 不符合反身性。

例子 1.3.10: 无穷序数 \omega 的构造: 考虑序数 0:= \emptyset,然后不断取后继得到序数：

1:=0+1, \ 2:=1+1 \ 3:=2+1...

我们取归纳集 x, 取 \alpha := \{ y \in x : y \subset x, y \in On \}，直接按定义可得： \emptyset \in \alpha , \alpha 是序数， y \in \alpha 可推出 y+1 \in \alpha 。

我前面已经用无穷公理声明了归纳集存在，这是无穷集的本体论保证，其存在性必须以公理引入，故而从某种意义上来说，我们已经用无穷公理构造出了无穷序数 \omega ，只需 by definition 即可 （相当于直接拿来用）。

注意到我们在 1.3.9 中用到了真类的概念，在此简单说明，其只合适被视为一个语言学上的分类，即意指那些不是集合的类，类似于一种为了描述才创造的一个分类，其并不具有很大意义，在随后的 1.6 节中我们则将依据 ZFC 公理为我们可用的集合划定宇宙。

1.4 超穷递归 (粗略)

定理 1.4.1(超穷递归法) : 令 C 是一个由序数构成的类，考虑序数 0: =\emptyset,如果：

\text{(i)}.$ $0 \in C \text{(ii)}.$ $\alpha \in C \rightarrow \alpha+1 \in C \text{(iii)}.$ 若 $\alpha$ 为极限序数，若 $\forall \beta < \alpha $ 皆有 $\beta \in \alpha$ 则 $\alpha \in C

那么 C= On。

若不然，则取不在 C 中的一个最小序数 \alpha \neq 0, 则他要么作为某一个序数的后继 ，或者是一个极限序数(依据 1.3.8)，又因为其是最小的，由此可以推导出矛盾。

或用此假设定义 On ，由极限序数和后继两种方式抵达所有序数。

在不涉及到极限序数的情况下，我们取 \theta=\omega 可得经典数学归纳法。

有了这样好的序结构，我们就可以以序数来枚举任意多的数学对象。

在此之前，我们先考虑一列以叙述为下标的 a_{\alpha} 到底意味着什么，回忆序数的性质 \alpha = \{ \beta \in On | \beta < \alpha \}, 如果记序数 \theta 为列 a 的 "长度" ，那么 a 可被视为一个映射 a : \theta \to V. 其中 V 是真类。

定义 1.4.2(列): 设 \theta 为一个序数， V 是一个真类。那么一个 \theta- 列 a 即为某个映射 a : \theta \to V. 这相当于指定出了一列以不超过 \theta 的序数为下标的数学对象。

定理 1.4.3(超穷递归原理):

虽然好像看懂了但是不知道为啥要这样做，就先咕咕咕了

根据超穷归纳法，我们自然可以定义序数上的运算结构。

定义 1.4.4(序数的运算): 设 \alpha,\beta 都是序数，在 (3) 中我们设 \beta 为极限序数。定义 :

• 加法： (1). \alpha+0 =\alpha, (2). \alpha + (\beta+1) = (\alpha+\beta) +1, (3). \alpha + \beta =\sup \{ \alpha + \gamma : \gamma < \beta \}.
• 乘法： (1). \alpha \cdot 0 =0, (2). \alpha \cdot (\beta +1) = \alpha \cdot \beta + \alpha , (3). \alpha \cdot \beta = \sup \{ \alpha \cdot \gamma : \gamma < \beta \}.
• 指数： (1). \alpha^0=1, (2). \alpha^{\beta+1} = \alpha^\beta \cdot \alpha , (3). \alpha^\beta = \sup \{ \alpha^\gamma : \gamma < \beta \}.

不难看出每一种运算最后都会化约为对序数取后继或者取极限的操作，故而这些运算结果也都是序数。

为了说明良序定理和 \text{Zorn} 引理，我们需要补全一些简单的概念。

定义 1.4.5(映射的增减/偏序集的同态同构): 设 X,Y 是偏序集，那么映射 f : X \to Y 是:

• 增的 ，如果 \forall x_1,x_2 \in X 有 x_1 \le x_2 \Rightarrow f(x_1) \le f(x_2)
• 严格增的 ，如果 \forall x_1,x_2 \in X 有 x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)

若依据二元关系 \le 的反转定义 \ge. 则可以定义减的映射和严格减的映射。

不难发现，一个增的映射自然是一个偏序集间的同态，而一个增且双的映射不仅是严格增的，而且是偏序集间的同态。由此便可定义偏序集的自同态和自同构。

引理 1.4.6: 设 P 为良序集，映射 \phi : P \to P 严格增。则：

$(2).$ $P$ 没有非平凡的自同构. $(3).$ 对任意 $x \in P$, 不存在 $P$ 到 $P_{<x}: = \{ y \in P : y < x \}$ 的同构。

证明：

对于 (1), 我们取集合 P_0 = \{ x \in P : \phi(x) < x \} 的极小元 z, 有 \phi 严格增， 则会有 \phi(\phi(z)) < \phi(z)，那么 \phi(z) \in P_0 矛盾。

对于 (2)， 设 \phi 是一个同构，取 \phi^{-1}(x) 代入 (1), 则得到 \phi(x) \ge x \ge \phi^{-1}(x). 由于是同构, \phi^{-1} 也是严格增的，进而可以得到 \phi^{-1}(x) \ge x \ge \phi(x). 即证。

对于 (3)，设 \phi 是这个同构，那么其必然也是严格增的（保持序并且单），那么其其实也是一个符合 (1) 条件的 \phi, 那么 \phi (x) \ge x \notin P_{<x}, 矛盾。

命题 1.4.7(良序集的序型): 对任意良序集 P, 存在唯一的序数 \alpha 和良序集之间的同构 \phi : P \to \alpha.

证明 ：

既然已经有了超穷递归，我们对于任意序数，去掉在"前面"的一些元素再取最小元就可以了，不过我们还需要一个额外的实体来标记我们递归结束的位置。

设 P \neq \emptyset, 取 \iota \notin P. 然后我们超穷递归定义一族元素 a_{\alpha} \in P \sqcup \{ \iota \}，其中 \alpha 取遍所有序数.

自然先给出 a_0 : = \min (P)，并递归的定义:

然后我们取使得 a_\alpha = \iota 最小的序数 \alpha 就可以了。这样就定义了一个良序集之间的同构 a : P \to \alpha.

定理 1.4.8(Zermelo 良序定理): 任意集合 S 都能被赋予良序.

证明：

这定理的证明需要声明一个选择函数的存在，即要利用到选择公理，其手法类似上一个命题。

由选择公理，我们可以在 S 的任意子集 S' 中选取元素 f(S'). 然后我们取 a_0 : = f(S). 以及标记 \iota \notin S, 并用超穷递归对每个序数 \alpha 唯一的定义:

那么我任然可以取出最小的 \alpha 使得 a_\alpha = \iota, S = \{ a_\beta : \beta < \alpha \}. 而后者与序数 \alpha 之间存在自然的双射，进而定义除了在 S 上的双射。

值得注意的是，选择函数 f 仅仅只是存在，却在绝大多数情况下是无法构造的。而这定理的成立的关键在于，我们有这样的选择函数，又可以超穷递归的对序数枚举，那么对于任意大的集合我都能通过对一序数为下标的列进行指定来指出其良序是存在的。

也就是说，我们实际上能用的“有序”只有序数，尽管超穷递归不那么显然，其却在我们用序数来有序的指定对象时必然的运用。

定理 1.4.9(Zorn 引理): 设 P 为非空偏序集，而且 P 中的每一个链都有上界，则 P 含有极大元。

我们需要在此补充极大元的定义:

定义 1.4.10(偏序集的极大元): 设 (P,\le) 为非空偏序集，则称 x \in P 是极大元，如果不存在 y \in P 使得 x < y.

证明：

类似的，我们假定 P 不存在极大元，我们任取 a_0 \in P 作为我们枚举上升列的起点，然后对每个序数定义 a_\alpha \in P ,使得 \alpha < \beta \Rightarrow a_\alpha < a_\beta, 这样的指定自然不是唯一的，却是一定存在的。(再不济可以用选择函数来说明)

我们这样相当于拉出了一条链出来，即对于任意非零序数 \alpha 给出一列 (a_\beta)_{\beta < \alpha}.

首先由于在 P 中的任意的链都存在上界，则对于 \alpha 是极限序数的情况都有了解决方案：对于列 (a_\beta)_{\beta < \alpha} 取上界 a_\alpha \in P 即可。

而对于 \alpha = \gamma +1 的后继序数的情况，由于 a_\gamma 已经被指定，而其又不是极大元（我们已经假定不存在极大元），那么必然存在 a_\alpha \in P 满足 a_\alpha > a_\gamma. 据此方法可将真类 On 嵌入进 P ,由分离公理模式可得这个子集也是集合，其必然与某个序数 \theta 同构（由 1.4.7）, 则可说明 On 也是集合（替换公理模式或者双射？）， 矛盾。

唐唐的， 不过必须得已经用序数标记了一个上升的序列才能取出下一个极限序数，这是利用序数性质的关键之处。

注记 1.4.11: 良序公理和 \text{Zorn} 引理和选择公理三者互相等价。

好神奇啊。

1.5 基数

我们用基数来描述集合大小，并以等势的概念出发确定我们称为大小相同的集合。

定义 1.5.1: 若两个集合之间存在双射 \phi: X \to Y 则称 X,Y 等势，我们将集合 X 的等势类记为 |X|, 两个集合等势记为 |X|=|Y|

若存在单射 \phi: X \to Y 则记 |X| \le |Y|

定理 1.5.2： 若两个集合满足 |X| \le |Y| 且 |Y| \le |X| 则 |X|=|Y|, 也就是说集合等势类满足反称性。

证明：

我们肯定根据已有的单射来构造双射，单射的逆亦是单射，主要在于要怎样才能涂满。

我们设存在单射 f: X \to Y 以及 g : Y \to X, 自然想到用 g(Y) 替代掉 Y, 这样 g 就退化为一个包含映射，故而有 f(X) \subseteq Y \subseteq X。

我们设 X_0 =X, Y_0=Y, 然后对于 n \in \Z_{\ge 0} 递归的定义 :

这样我们就可以得到一列不断嵌套下去的子集列，这样我们就考虑尽可能地用能直接用包含映射进行构造，构造映射 \phi: X \to Y:

可以验证其是双射，证毕。

然后是一些等势类的基本运算：

后一项在定义上的含义是 X 到 Y 的映射总数量（注意不是对应的总数量）

可以简单记 2^{|X|}=|P(X)|

定理 1.5.3: 对任意集合 X 皆有 |P(X)|>|X|

证明：先假设存在这样一个单射 f: X \to P(X) , 注意到由于每一个元素都将会映射到一个 X 的子集，然后考虑子集 Y= \{ x \in X | x \notin f(x) \}， 现在考虑是否存在一个 x_0 使得 f(x_0)=Y，可以推导出矛盾。

等势类实则给出了一类集合，而定义基数的方法无非是从中取出一个代表元。

定义 1.5.4: 序数 \kappa 为基数，如果对于任意 \lambda < \kappa ,都有 |\lambda| < |\kappa|。

在这里 |\lambda| < |\kappa| 即是存在 \lambda 到 \kappa 的单射，反过来则不存在。

换言之，基数也就是一个等势类中的极小序数。

命题 1.5.5: 对于任意集合 X ，都可以取出一个最小序数 \alpha(X) 使得 |X|=|\alpha(X)|。特别的对于任意集合 X,Y ，必有 |X| \le |Y| 或 |Y| \le |X|。

证明: 由 1.4.8 的手法可知 \alpha(X) 的存在性 （构造双射）。 而后一半则考虑分别取 \alpha (X) 和 \alpha(Y) 即可。

引理 1.5.6: \text{(i)}. 对于任意序数 \alpha 都存在基数 \kappa > \alpha。\text{(ii)}. 如果 S 是一个由基数组成的集合，则 \sup S 也是基数（别忘了基数和序数也都是需要在恰当的时候被看做集合的实体！）。

证明:

对于 (\text{i}), 我们取最小的序数 \kappa 使得 |\kappa|=|P(\alpha)|> |\alpha| 即可。此时 \kappa 即是基数.

对于 (\text{ii}). 我们假设存在 \beta < \alpha : =\sup S 使得 |\beta| = |\alpha|. 而由于 \sup 的性质，我们可以取出一个 \kappa \in S 满足 \kappa > \beta. 进而得到 |\beta| \le |\kappa| \le |\alpha| = |\beta|=|\kappa|. 这与 \kappa 是基数的前提矛盾。

其实这几个命题都偷偷用到了选择公理，可见其重要性

注意到对于任意无限集都有 |\alpha \sqcup \{ \alpha \}| = |\alpha| ，故无穷基数必然是极限序数，也记无穷基数为 \aleph 数。

通过引理 1.4.1 可以让我们用序数来枚举无限基数，可以考虑递归的定义:

可以感受到当 \alpha 也是极限序数的时候，\aleph_{\alpha} 非常的巨大，不过对于这些对象，直观的感受他的大小是意义不大的，我们更需要关心的是他的定义，以搞清楚他真正的点位。

命题 1.5.7: |\R|=2^{\aleph_0}

先注意到 |\mathbb{Q}|=|\Z_{\ge 0}|=\aleph_0

可以通过构造一种可以排列所有可能有理数的方式证明，证明的关键在于可以通过给每个有理数指定一个后继，并将其与自然数对应且可以遍历掉所有的有理数。

但，从有理数本身的偏序关系上，我们是做不到指定出一个比“某个有理数大的最小有理数”，但我们却可以通过一种遍历方式“重新标号”掉所有的有理数，证明其与自然数集的基数相同，时刻注意从定义出发，抛弃我们对我们直观意识到的那些数集的直接印象，这些直觉不仅是不严谨的，也会让你感觉到一些结果十分奇怪。

注意到这点是应该有助于我们理解 Dedekind 分割。我们考虑用一下有序对定义实数。

定义 1.5.8: 我们用集合的有序对 (A,B) 来定义全体实数,其满足 A \bigcap B = \emptyset, A \bigcup B = \mathbb{Q}，且 \forall b < a 且 a \in A, 有 b \in A。且 A 中不含有极大元。

这个定义的方式其实和柯西的无穷序列法有点像，但是他是极度反直觉的，因为看起来我们似乎最多只能构造出“有理数个”的实数，但是实际上他能满足实数应有的任何性质。

总而言之，存在单射 \R \to P(\mathbb{Q})。

于是 |\R| \le |P(\mathbb{Q})|=2^{\aleph_0}

另一方面，我们考虑在 [0,1] 内的实数集。

不难看出，这个集合一定是实数集的子集，且通过右边可以得到 |\R| \ge |C|= 2^{\aleph_0}。

这样我们就证明了 |\R|=|2^{\aleph_0}|。

上面取的集合 C 十分的有意思，他为在 [0,1] 内取出超过整数个数目的离散的点提供了例子。

注意到，2^{\aleph_0} 显然是一个比 \aleph_0 更大的基数，但是我们实际上无法知道在他们中间是否还存在其他基数。有著名断言：

定理 1.5.9(连续统假设): 2^{\aleph_0}=\aleph_1 独立于 \text{ZFC} 系统。

可以通过 (1) 说明其与 ZFC 系统相容，(2) 说明 ZFC 系统不能证明它，来证明其与 ZFC 公理实际上独立。而在大多数情况下，我们直接引入其作为一个新的假设/公理.

这一定理的证明需要使用到集合论的诸多高阶手段和技巧，在此就不展开了 。我怎么看得懂啊

定理 1.5.10: 真类 On^2=On \times On 上存在一个良序 \prec 使得对每个序数 \alpha 皆有在 \alpha \times \alpha 上的一个典范良序 On^2_{\prec (0,\alpha)}=(\alpha \times \alpha, \prec)。进一步有 (\aleph_\alpha \times \aleph_\alpha, \prec) 的序型为 \aleph_\alpha , 作为推论，我们有 |\aleph_\alpha| *|\aleph_\alpha|=|\aleph_\alpha|。

这个定义看起来有点像是受到了有理数的启发，因为我们可以通过构造 \omega \times \omega 上的一个典范良序并用自然数再给他们标号，证明有理数和整数的“数量” 是相等的。于是我们现在只是考虑将其推广到更大的序数上。

在过程中注意区分序数之间的偏序关系和基数/等势类之间的偏序关系的区分，一个是依据外延公理定义的严格相等，另一个只是用是否存在双射定义出的等价类。

下面给出证明:

我们考虑在 On^2 上定义 (\alpha,\beta) \prec (\alpha' ,\beta') 当且仅当：

• \text{(i)}$ $\max \{ \alpha,\beta \} < \max \{ \alpha',\beta' \}

若其不是一个良序用反证法应该可以推出矛盾，然后可以注意到 (\alpha',\beta') \prec (0, \alpha) 当且仅当 \alpha',\beta' < \alpha。故我们可以有 On^2_{\prec (0,\alpha)}= \alpha \times \alpha。

仍然采用反证法，设 \alpha 是使得 \aleph_\alpha \times \aleph_\alpha 不同构于 \aleph_\alpha 的最小序数，根据前面关于有理数的断言，可知 \alpha >0。

考虑记 \gamma 为 (\aleph_\alpha \times \aleph_\alpha ,\prec) 的序型 (由命题 1.4.7)，很自然会有：

按 \alpha 的定义，我们可以构造 f : \gamma \to (\aleph_\alpha \times \aleph_\alpha ,\prec) 为双射。

显然有 \gamma > \aleph_\alpha , 我们可以考虑限制 f 使得 \aleph_\alpha 变成这个 (\aleph_\alpha \times \aleph_\alpha ,\prec) 中的一个真前段的同构（存在性由 \aleph_\alpha \times \aleph_\alpha 的良序性易得，由于其是良序集，其子集也是有良序的）。

由于这是一个真的前段，我们可以找到一个序数 \sigma < \aleph_\alpha，使得 f(\aleph_\alpha) \subset \sigma \times \sigma ，可以大致理解为我们一定可以找到一个序数更小（记住这里是更小的一个序数，是比较弱的），可以理解为 \aleph_\alpha 放到一个这个小一点的 “矩阵”。

然而，由基数的定义 1.5.4 且 \alpha 非零，存在序数 \beta < \alpha , 使得 |\sigma|=|\aleph_\beta|，而由我们前面关于 \alpha 的极小性假设，我们可以得到 \aleph_\beta \cdot \aleph_\beta= \aleph_\beta，于是：

矛盾，遂证明。

推论 1.5.11: 对任意非零基数 \kappa ,\lambda ，设其一无穷，则 \text{(i)} \kappa + \lambda = \kappa \cdot \lambda = \max \{ \kappa, \lambda \} ，\text{(ii)} 若 2 \le \kappa \le \lambda 则 \kappa ^ {\lambda}=2^{\lambda}。

先证明 \text{(i)}, 不妨设 \lambda 为无穷，且 \lambda \ge \kappa > 0 ，由序数间的运算易得：

然后再由 定理 1.5.3 则得， \lambda=\lambda \cdot \lambda ，就可以得出 \text{(i)} 。

而对于 \text{(ii)}:

也得到了证明。

1.6 Grothendieck 宇宙

定义 1.6.1: 我们在这样定义宇宙 \mathcal{U}，它拥有一下性质：

$\text{(ii)}$ 若 $u,v \in \mathcal{U}$ 则 $\{u,v \} \in \mathcal{U}$。 $\text{(iii)}$ 若 $u \in \mathcal{U}$ 则 $P(u) \in \mathcal{U} \text{(iv)}$ 若 $I \in \mathcal{U}$ ，一族集合 $\{ u_i : i\in I \}$ 满足 $\forall i, u_i \in \mathcal{U}$ 则 $\bigcup_{i \in I} u_i \in \mathcal{U} \text{(v)}$ $\empty \in \mathcal{U}

对于一个集合 X 若 X \in \mathcal{U} 则称其为 \mathcal{U}-集；若集合 X 和一个 \mathcal{U}-集等势，则称 X 是 \mathcal{U}-小集。

这个定义十分简洁，其中由于我们有前几条的可以对已有元素进行“操作”构造新的在这个宇宙内的集合，可以由空集在其中推出 \mathbb{Z}_{\ge 0} \in \mathcal{U}。

根据宇宙的定义我们可以得到一下推论：

由 v \in \mathcal{U} 中，推出 P(v) \in \mathcal{U}

进一步有 P(v) \subset \mathcal{U} 故而对于 u \in P(v) 有 u \in \mathcal{U}。

由 u \in U, 则一族集合 \{ x_i : i \in u \} 满足 \forall i, x_i \in \mathcal{U} 则 \bigcup_{i \in u} x_i \in \mathcal{U}

于是我们可以考虑这个下标恰好使 x_i=i, 再在记号上令 i=x, 我们就只需要 \forall x \in u, x \in \mathcal{U}。

由于我们有 u \in \mathcal{U} \Rightarrow u \subset \mathcal{U} ，故 x \in \mathcal{U}。

由 \mathcal{U} 是传递集,故而 \forall x \in u \cup v , x \in \mathcal{U}

进而 \forall u_0 \in u , v_0 \in v 有 \{ u_0,v_0 \} \in \mathcal{U}

我们可以有： \{ \{u_0,v_0 \} ,\{ u_1,v_1 \} \} \in \mathcal{U}

根据其子集在 \mathcal{U} 中，有 \{\{ u_0,v_0 \} \} \in \mathcal{U}

再把所有这样的集合并在一起我们就得到: u \times v \in \mathcal{U}

首先所有的 u_i 中的元素（集合）都在 \mathcal{U} 中。

考虑 u_{i0} \in u_i, u_{j0} \in u_j, u_{k0}\in u_k，我们可以选出 \{u_{i0},u_{j0} \} 和 \{ u_{k} \} 均在 \mathcal{U} 中（后者可以由 P(u_k) \in \mathcal{U} 得到)。

再由第四条宇宙的定义可得 \{ u_{i0},u_{j0},u_{k0} \} \in \mathcal{U} 中。然后继续并就可以了

根据选择公理，我们就可以得到所有我们需要在积集合中的元素都在 \mathcal{U} 中，再由类似上一条的构造方式，我们就能得到这个推论。

相信你也有感觉，宇宙通过原有的集合构造出新的集合存在在这个宇宙中的方式和我们 ZFC 公理限制集合的存在形式的方式有点像，而且我们通过这些方式可以实现大部分数学操作（如并集幂集乘积集等等）而不会涉及到真类（通过强行搞出一些的形式，比如罗素悖论）。换句话说，将我们需要研究的集合都放在一个宇宙中是十分安全的，我们可以将我们关心的结构都放在宇宙中以避免一些集合论难题，对此Chatgpt 给出了一下回答：

Grothendieck宇宙的概念在数学中，特别是在处理与大集合相关的问题时，提供了一个有效的框架，可以规避某些经典的集合论难题和悖论。以下几点解释了Grothendieck宇宙如何帮助我们避免这些难题：

1. 提供一致的框架：Grothendieck宇宙提供了一个一致的框架，使得我们能够谈论“足够大”的集合，而不会引起集合论的不一致。在每个宇宙内部，我们可以自由地进行代数运算、构造新的集合，而无需担心遇到悖论或不一致。

2. 便利性：在数学研究中，尤其是代数几何和类别论中，Grothendieck宇宙提供了一个便利的工具，允许我们使用“所有”对象构成的集合，例如所有代数结构的集合。通过选择一个合适的Grothendieck宇宙，我们可以确保所有对象都在一个集合内，从而简化证明和定义。

3. 无限层次的宇宙：Grothendieck宇宙的无限层次结构允许我们定义一个宇宙，其中包含另一个宇宙，如此类推。这提供了在不同层次上处理集合的灵活性，同时也是对集合论中无限递归特性的直观描述。

总之，通过将我们的注意力限制在Grothendieck宇宙内，我们能够避免经典集合论中与无限和自我包含相关的难题，同时保持数学结构的完整性和一致性。这使得Grothendieck宇宙成为了数学家处理大集合和无限维空间时的有力工具。

但是否有这样的宇宙给我们调用是另一个问题，我们需要引入一下假设

假设 1.6.2: 对于任何集合 X, 存在宇宙 \mathcal{U} 使得X \in \mathcal{U}

于是你可能会意识到一个问题，宇宙本身是集合吗？

答案是肯定的，这也预示了我们需要有足够多的宇宙，因为对于 宇宙 \mathcal{U_1} 我们总还需要找到一个更大的宇宙 \mathcal{U_2} 使得 \mathcal{U_1} \in \mathcal{U_2}。这也是集合的无限递归性质的体现。

的确，若考虑所有宇宙组成的类，不可避免的也会涉及到 On 为真类的问题，不过我们在研究问题时，只需关注其中的 1-3 个宇宙即可。

定义 1.6.2(集合的层垒谱系): 我们考虑以超穷递归定义一族可以由序数枚举的一族集合 V_\alpha（类比 \aleph )：

V_0 := \emptyset V_{\alpha+1}:=P(V_{\alpha}) V_\alpha:= \bigcup_{\beta <\alpha} V_\beta, \ \ 如果 \alpha 是极限序数

名字取得好高大上，不过是取取幂集啥的罢了

不难理解其定义的动机来自于定理 1.5.3.

应该可以看出其与 \aleph 数定义的一些差异，我就不再强调了。

推论 1.6.3: \text{(i)} 每一个 V_\alpha 都是传递集，并包含 \alpha 作为子集。\text{(ii)} 由 \alpha < \beta \Rightarrow V_{\alpha} \subset V_\beta。

不能看出，如果第一个推论成立，第二个推论是很显然成立的。

现在我们给出第一个推论的证明：

(1) 若 \alpha 不是极限序数，我们首先显然有 \forall y \in V_1, 则 \ y \in V_2 。

然后我们现在归纳的证明：若 \forall y_0 \in V_{\alpha} \Rightarrow y \subset V_\alpha，则可以证 \forall y \in V_{\alpha+1} \Rightarrow y \subset V_{\alpha+1}。

首先由： y \in V_{\alpha+1} \Rightarrow y \subset V_\alpha

而要证： y \subset V_{\alpha+1} \Leftarrow \forall x \in y , x \in V_{\alpha+1}

也就是 \forall x \in y, x\subset V_\alpha 。

而我们有 y \subset V_{\alpha}, 故而 x \in V_\alpha, 进由归纳假设我们有 x \subset V_\alpha。故这一部分证毕。

(2) 现在考虑，若 \alpha 是极限序数，然后我们已经有： \forall \beta < \alpha,y \in V_\beta 有 y \subset V_\beta。

若 y \in V_\alpha 则 \exist \beta <\alpha 使得 y \in V_\beta。

故而 y \subset V_\beta，而显然我们有 V_\beta \subset V_\alpha ，故 y \subset V_\alpha 。证毕。

对于推论 \text{(ii)} 也有类似的方式去证明。

命题 1.6.4: 任一集合都属于某个 V_\alpha ，其中 \alpha 是序数。

可以直观的理解为，通过集合的层垒谱系，我们可以给每一个集合 A 指定出唯一的一个序数 \alpha，将他放到这个 V_\alpha 这个层级当中。

证明挖坑

我们下面准备着手说明宇宙的可调用性，不过我们仍然需要引进一些略显笨重的概念。

定义 1.6.5: 一个无穷基数 \alpha 被称为正则基数，则不存在极限序数 \beta < \alpha ,和严格增的序数列 \{ \alpha_\delta : \delta < \beta \} 使得 \sup \{ \alpha_\delta : \delta < \beta \} =\alpha。

正则基数可以看做无法由更小的基数构造出的无穷基数。

作为例子，所有形如 \aleph_{\omega + \gamma} 一定不是正则基数，我们取 \beta=\omega +\gamma , \alpha_\delta=\aleph_\delta ，而 \aleph_{\beta} > \beta 是显然的。

而我们对于 \aleph 的定义表明：

定义 1.6.6: 满足以下性质的基数 \kappa 称为强不可达基数：

$\text{(ii)}$ $\kappa$ 是正则基数 $\text{(iii)}$ 对任意基数 $\lambda$ 皆有$\lambda < \kappa \Rightarrow 2^\lambda < \kappa

公理/假设 1.6.7: 强不可达基数存在。

强不可达基数的存在性独立于 \text{ZFC} 的公理系统，故需要声明其的存在性。

定理 1.6.8: 宇宙正是层垒谱系中形如 V_\kappa 的成员，其中 \kappa 是一个强不可达基数。

也就是对于形如 V_\kappa 的成员，它可以满足宇宙的所有性质，我们通过层垒谱系和强不可达基数的定义给出 V_\kappa，进一步再其中取一个作为我们需要作为 “防火墙”的宇宙，而为什么需要给出这些定义都是基于 ZFC 中的公理的（比如取幂集，取并集等等）。

反过来说，由强不可达基数的性质，我们对于集合进行在 ZFC 体系内都允许的任意操作，都不会超出形如 V_\kappa 一员的宇宙 \mathcal{U}。

故而，宇宙的引入，更像是某种 “ZFC的全集”，为了避免一些集合论疑难出现。而为了让宇宙能够存在，我们增加一个无法触及的“强不可达基数”存在，其定义本身其实是由 ZFC 公理们能完备运行而决定的，但是却独立于 ZFC 公理的宇宙，这看着像是一种“回溯性保底”的操作。

至于这一操作的哲学意义，我暂且没什么看法，挖坑。

咱就是说为什么不能直接声明宇宙存在，而是取超穷次幂级构造出层垒谱系再靠声明一个强不可达基数的存在来声明宇宙存在，感觉其实有点自己证明自己，俩者从定义看起还是蛮等价的