同余方程及扩欧求逆元

* ## 同余 * ### 前置知识 ————扩展欧几里得定理 * ### 什么是同余 #### 对于两个数a,b,它们对于p取模结果相同，那么就称a和b在对p取模意义下同余 * ### 公式表达 $\color{red}{a≡b(mod)p}$ * ### 如何求一个数的同余 #### 利用扩展欧几里得定理 **我们将该公式转化一下 -> a%p == b%p ** **再变一下 -> a%p - b%p == 0** **再变一下 -> a%p + (-b%p) ==0 ** **诶，这个时候我们可以发现这个和扩欧的公式好像啊(ax+by==c)** **那么是不是将其看成扩欧就可以解决了呢** **事实是————是的** **但是我们知道可以用扩欧求出一个同余来了，但是好像还是不知道怎么求，也不知道同余可以干什么啊** **事实上，在平常的写题中没有系数的同余都是很少出现的，一般同余是这么出现的-----** **ax≡b%p 它会告诉你一个系数再让你去求解** **更特殊的，b会等于1，这个时候，就扯到逆元上了** * ## 逆元 * ### 什么是逆元 **形如ax≡1%p的x我们就称x是a的一个逆元，即a乘以x后mod p的答案是1** * ### 逆元有什么用 **在部分对一个很大的数字取模防止答案爆long long以至于表达不出来的题目中，有时会发现会用到除法，可是用整数除法会有问题啊，那怎么办呢~~又是那怎么办呢~~？ ** **这个时候逆元就派上用场了** **我们发现，ax mod p ==1 时，这个x等于 $\frac{1}{a}$时就是一个最明显的满足条件的逆元，可是$\frac{1}{a}$不是一个整数啊，那怎么办呢？** **实际上，一个数对于另一个数取模时，它的逆元是有无数个的，只不过$\frac{1}{a}$是最小的一个，也就是说，还会有ay mod p == 1的存在， 而这个时候，由于要对p取模，那么我们的a乘以x和乘以y的效果都是一样的，所以$\frac{1}{a}$可以被另一个常数y所代替，再想开一点，是不是所有的常数在对p取模时乘以$\frac{1}{a}$时都可以被y所代替呢， 由于p是不变的，所以这个结论是正确的** * ### 如何求逆元 **求逆元有三种方式** ** 前面说过，有一种是可以用ex_gcd来求的** **另外两种分别是费马小定理（有局限性，但是非常简单）和[线性推逆元](https://www.cnblogs.com/Morning-Glory/p/9892808.html)(线性的去求逆元，适用于大规模求逆元)** * #### ax ≡ 1 mod b * #### ax % b == 1 * #### ax - ax/b*b == 1 * #### 设y为ax/b,ax + (b(-y)) == 1 * #### 以下y为-y * #### ax + by == gcd(a,b) * #### gcd(a,b) == gcd(b,a%b) == gcd(b,a-a/b*b) * #### ax + by == gcd(b,a-a/b*b) == bx'+(a-a/b*b)y' * #### ax + by == bx' + ay' - a/b*by' * #### ax + by == ay' + b(x'-a/b*by) * #### x = y',y = x' - ab / by **由此，我们可以得出求一个数的逆元的公式了** ### code: ```cpp void ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y) { if (b==0){x=1,y=0;return;} ex_gcd(b,a%b,x,y); int tmp=x; x=y,y=tmp-a/b*y; } ``` * ### 总结 * **同余是当两个数都模一个p它们的余数相同，那么我们就称这两个数同余** * ** 逆元是同余的一种常见特殊情况 ** * **对于求逆元，首先要知道逆元有什么用：** * ** 逆元是在取模运算中可以用乘法代替除法的巧妙工具**