RSA 加密算法

细数繁星 · 2023-11-19 18:53:57 · 个人记录

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RSA 加密算法在信息学奥赛上没有应用，但是在密码学以及数论领域是一个重要工具。。

RSA 加密算法是由罗纳德·李维斯特 (Ron Rivest)、阿迪·萨莫尔 (Adi Shamir) 和伦纳德·阿德曼 (Leonard Adleman) 一起提出的。算法的名字是由他们三人姓氏首字母组成的。

行文方便，后面对 RSA 加密算法统称 RSA。

RSA 的破解瓶颈

RSA 的破解瓶颈在于因式分解，只要对大整数的质因数分解没有重大的突破，且所采用的素数值足够大，那么 RSA 至少在有效的时间内是无法被破解的。而且 RSA 不是对称加密，就是说获得了加密用的密钥也没法解密，甚至你把公钥给窃密者看他也无法破解，这也是 RSA 的厉害之处。

算法具体内容

RSA 有待加密文本 M(0\le M<n)，公钥 P=(e,n) 以及私钥 S=(d,n)。

具体过程如下：

1. 选取两个大素数 p 与 q，它们的位数最好在 700 位 到 1000 多位。然后我们计算 n=pq 以及 n 的欧拉函数值 \varphi(n)。其中易得 \varphi(n)=(p-1)(q-1)。

2. 选取一个数 e，e\nmid 2 且 \gcd(e,\varphi(n))=1，其中 e 不要等于 1，不然加密的意义也就不存在了，这么说的原因请往下看。

3. 计算模 \varphi(n) 的情况下 e 的乘法逆元 d（也就是方程 ed\equiv 1(\bmod \varphi(n)) 中 d 的值），根据乘法逆元的原理，保证 d 有解且只有 1 个解。

4. 公开公钥，私钥保密。 加密过程如下：

5. 设 P(M) 表示加密信息，那么 P(M)=M^e\bmod n。

6. 设 S(C) 表示解密密文，那么 S(C)=C^d\bmod n。

RSA 的特性：

1. 对于所有的公钥和密钥，满足 S(P(M))=M，同理也满足 P(S(C))=C。

我们这里解释一下为什么 e 不能为 1：

在 e=1 的情况下，P(M)=M\bmod n，因为 1\le M<n，所以 P(M)=M，失去加密作用。

在 e=1 的情况下，d=\varphi(n)+1，也就是 S(C)=C^{\varphi(n)+1}\bmod n。根据欧拉定理 C^{\varphi(n)}\bmod n=1，所以我们可以得到 S(C)=(C^{\varphi(n)}\bmod n)(C\bmod n)\bmod n=C\bmod n\bmod n=C\bmod n，但是因为 C 是由 P(M) 加密过来的，所以 1\le C< n，那么 S(C)=C，失去解密作用。

再解释一下为什么 0\le M< n：

在 M \ge n 时，必定存在一个数 M_2（0\le M_2 < n，使得 P(M_2)=P(M)，这就会使解密过程中无法返回正确结果。之所以会有这种歧义，是因为当 M\ge n 的时候，M^e\bmod n 肯定是小于 n 的。

RSA 正确性证明

证明 RSA 无非就是证明 P(S(M))=M，那么我们就展开它，可以得到 P(S(M)) 等价于：

因为 e 和 d 是对 \varphi(n)=(p-1)(q-1) 的乘法逆元，所以存在整数 k，使得：

展开其得到：

因为 欧拉定理，所以我们可以得到：

由于：

因此得证。

参考文献

[1] 《算法导论》第 31 章 RSA 加密算法