《高等数学》习题6.6选做

2. 求函数 $\displaystyle f( x,y) =x^{3} -3x^{2} y+3xy^{2} +2$ 在点 $\displaystyle P_{0}( 3,1)$ 处沿从 $\displaystyle P_{0}$ 点到 $\displaystyle P( 6,5)$ 方向的方向导数。 解：$\displaystyle f=( x-y)^{3} +y^{3} +2$，所以 $\displaystyle \mathrm{d} f=3( x-y)^{2}(\mathrm{d} x-\mathrm{d} y) +3y^{2}\mathrm{d} y$，方向为 $\displaystyle \boldsymbol{l} =\left(\frac{3}{5} ,\frac{4}{5}\right)$，因此 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{l}} =-\frac{3}{5}( x-y)^{2} +\frac{12}{5} y^{2} =-\frac{12}{5} +\frac{12}{5}$。 5. 求 $\displaystyle z=f( x,y) =x^{2} +2xy+y^{2}$ 在点 $\displaystyle ( 1,2)$ 的梯度。 解：$\displaystyle \mathrm{d} z=\mathrm{d}\left[( x+y)^{2}\right] =2( x+y)(\mathrm{d} x+\mathrm{d} y)$，因此 $\displaystyle \operatorname{grad} z=( 2( x+y) ,2( x+y)) =( 6,6)$。 6. 求 $\displaystyle z=f( x,y) =\arctan\frac{y}{x}$ 在点 $\displaystyle ( x_{0} ,y_{0})$ 处的梯度，并求沿向量 $\displaystyle ( x_{0} ,y_{0})$ 的方向导数。 解：$\displaystyle \mathrm{d} z=\frac{x\mathrm{d} y-y\mathrm{d} x}{x^{2} +y^{2}}$，因此 $\displaystyle \operatorname{grad} z=\left(\frac{-y_{0}}{x_{0}^{2} +y_{0}^{2}} ,\frac{x_{0}}{x_{0}^{2} +y_{0}^{2}}\right)$，$\displaystyle \left(\frac{-y_{0}}{x_{0}^{2} +y_{0}^{2}} ,\frac{x_{0}}{x_{0}^{2} +y_{0}^{2}}\right) \cdot ( x_{0} ,y_{0}) =0$，方向导数为 $\displaystyle 0$。 9. 证明函数 $\displaystyle f( x,y) =\frac{y}{x^{2}}$ 在椭圆周 $\displaystyle x^{2} +2y^{2} =1$ 上任意一点处沿椭圆周法方向的方向导数为 $\displaystyle 0$。 解：$\displaystyle \mathrm{d} f=\frac{x\mathrm{d} y-2y\mathrm{d} x}{x^{3}}$，而椭圆周上一点 $\displaystyle ( x_{0} ,y_{0})$ 的切线方程是 $\displaystyle 2x_{0} y+4y_{0} y=1$，因此法方向是 $\displaystyle ( x_{0} ,2y_{0})$。而 $\displaystyle \left(\operatorname{grad} f\right) \cdot ( x_{0} ,2y_{0}) =( -2y_{0} ,x_{0}) \cdot ( x_{0} ,2y_{0}) =0$。