简易陀螺中的科学
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个人记录
今天我们来聊聊空间向量。
利用向量计算空间几何量
利用向量计算空间几何量
向量法可以求空间中角度和距离。包括异面直线所成角、线面角、二面角和点面距离。
棱所在直线上的点的坐标通常由定比分点坐标公式求出。
$2.$异面直线所成角
两条直线的方向向量的夹角或它的补角即为异面直线所成角（异面直线所成角小于等于$90^\circ$）。
$3.$线面角
直线的方向向量和平面的法向量的夹角（或夹角的补角）和线面角互余（直线和平面所成角小于等于$90^\circ$）。
$4.$二面角
两个面的法向量的夹角和二面角相等或互补（具体是相等还是互补需要判断二面角是钝角还是锐角）。
$5.$点面距离
已知$S$为平面$\alpha$外一点，$A\in\alpha$，$\overrightarrow{n}$是$\alpha$的一个法向量。设$S$到面$\alpha$的距离为$d$，则
$$d=\left|\dfrac{\overrightarrow{SA}\cdot\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|}\right|$$
## 向量的外积
### 向量外积的概念
向量的**外积**又称**向量积**，向量的**叉积**，是两个向量之间的运算，得到的仍然是一个向量，这个向量与原来两个向量均垂直。向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的外积记为$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$，它的大小为
$$\left|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|\cdot\sin\left<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right>$$
其中$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}$的方向遵守**右手定则**，大小为以$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$为邻边的平行四边形的面积。两个向量共线当且仅当它们的外积为零。
### 两个向量的外积的运算律
向量外积满足**反运算律**
$$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a}$$
还满足对加法的分配律，与数乘兼容；不满足结合律。
### 向量外积的坐标运算
若$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1,z_1),\overrightarrow{b}=(x_2,y_2,z_2)$，则
$$\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=(y_1z_2-z_1y_2,z_1x_2-x_1z_2,x_1y_2-y_1x_2)$$
好，今天我们就聊到这里。