googology2-FGH与自然数增长率

donotctjuntilAFO · 2024-04-27 14:53:25 · 休闲·娱乐

快速增长层级

简介

快速增长层级，简称FGH。是用来衡量函数增长率的函数，也是现在比较函数增长率的主流。

定义

很简单，就 3 条。

1. f_0(n)=n+1

3. 若 \alpha 为极限序数，f_\alpha(n)=f_{\alpha[n]}(n)

可以得到 f_1(n)=f_0(f_0(\cdots f_0(n)))=2n

同理 f_2(n)=2^nn

试计算 f_3(3)

原式 =f_2(f_2(f_2(3)))=f_2(f_2(24))=f_2(2^{24}\times 24)=f_2(402653184)=2^{402653184}\times 402653184

自然数增长率

当 \alpha 为自然数时，可以得到 f_\alpha(n)\sim n\uparrow^{\alpha-1}n\sim n[\alpha+1]n。但这只是FGH的很小一部分。

对角化

将影响函数增长率的最大因素用变量表示，这就是对角化。对角化是帮助我们提升函数增长率的一种方法。

例如将FGH的下标改成变量，或者将箭头数量改成变量，函数 f_n(n)\sim n\uparrow^n n 的增长率就超越了任何一个自然数增长率的函数，此时自然数就不够用了，就要用序数来表示增长率。