Subspace Inversion

（这里采取符号 $(\omega;q)=(1-\omega) (1-\omega q)\cdots(1-\omega q^{n-1})$） 设 $f,g$ 满足 $$ g_n = \sum_k \binom n k_q f_k $$ 那就是 $$ \frac{g_n}{(q;q)_n} = \sum_k \frac{f_k}{(q;q)_k} \frac{1}{(q;q)_{n-k}} $$ 若要进行反演，只需计算乘法逆 $$ \left(\sum_n \frac{x^n}{(q;q)_n}\right)^{-1} $$ 不妨记括号内为 $\zeta(x)$，注意到 $$ \zeta(x)-\zeta(qx) = \sum_n \frac{(1-q^n)x^n}{(q;q)_n} = x \zeta(x) $$ 因此 $$ \zeta(x)= \frac{\zeta(qx)}{1-x} = \frac{\zeta(q^2x)}{(1-x)(1-qx)} = \cdots = \frac1{(x;q)_{\infty}} $$ 故有 $$ \zeta(x)^{-1} = (x;q)_{\infty} = (1-x)\zeta(qx)^{-1} $$ 解得 $$ \zeta(x) = \sum_n \frac{(-1)^n q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_n}x^n $$ 因此，我们得到了子空间反演系数 $$ f_n = \sum_k (-1)^k \binom n k_q q^{k(k-1)/2} g_{n-k} $$