导数、积分瞎记
bloodstalk
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个人记录
定义式
f^{'}(x) = \lim_{\Delta x\rightarrow0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
导数不是用来测量某一点处函数的瞬时变化率的，而是测量瞬时变化率的最佳近似。\Delta x 再小也是存在的，它也是一段变化量。
其实一般都说成是瞬时变化率。
常见导数：
(a^x)^{'} = xa^{x-1}
(C)^{'} = 0
(e^k)^{'} =e^k
(\ln x)^{'}= \frac{1}{x}
(\sin x)^{'} = \cos x
(\cos x)^{'} = -\sin x
不常见的：
(\tan x)^{'} = \frac{1}{\cos^2x}
(\cot x)^{'} = -\frac{1}{\sin^2x}
a^x = \ln a(a^x)
(\log_ax)^{'} = \frac{1}{x\ln a}
运算法则
(f(x)+g(x)+h(x)+\dots)^{'} = f^{'}(x) + g^{'}(x) + h^{'}(x) +\dots
(kf(x))^{'} = kf^{'}(x) , k \text{是常数}
(f(x) \cdot g(x))^{'} = f^{'}(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g^{'}(x)
(\frac{f(x)}{g(x)})^{'} = \frac{f^{'}(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g^{'}(x)}{g^2(x)}
(g(f(x))^{'} = g^{'}(f(x)) \cdot f^{'}(x)
这个就是复合函数的导数，举个例子。
(\sqrt{\sin x})^{'} = \frac{1}{2}\sin^{-\frac{1}{2}} x \cdot \cos x
遵循一个链式法则，把里面换个元，逐层分解即可。再来个例子
(\sqrt{\sin x^2}) = \frac{1}{2}\sin^{-\frac{1}{2}}x^2 \cdot \cos x^2 \cdot 2x
= \sin^{-\frac{1}{2}}x^2 \cdot \cos x^2 \cdot x
导数和函数单调性
好神奇。
给个例子。
f(x) = x^2 - 2x + 3
运用初中知识，易知 x < 1 时单调递减，x > 1 时单调递增。
我们考虑导数的几何意义：反映了函数图像上一个点的斜率。我们给 f(x) 求个导看看：
f^{'}(x) = 2x - 2
在 x > 1 时，f^{'}(x) > 0 ，这就代表着 f(x) 在 x>1 的时候是单调递增的；同样的，在 x < 1 时，f^{'}(x) < 0 ，这就代表着 f(x) 在 x < 1 的时候是单调递减的；而当 x=1 的时候 f^{'}(x)=0 ，说明该处斜率为 0 ，是个拐点。
有了这个，我们就可以很快速的判断单调性和拐点等问题了/oh。
还有，当 f^{'}(x) > 0 时，f^{'}(x) 越大，函数增得越快；同理，当 f^{'}(x) < 0 时，f^{'}(x) 越小，函数降得越快。
极值与最值
极大值与极小值
来个例子
f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x + 4
导一下
f^{'}(x) = x^2 - 4 = (x+2)(x-2)
这是 f(x) 的图像
由导数我们可以知道，当 x\in(-\infty,-2) 时，f^{'}(x) > 0，函数单调递增；当 x\in[-2,2] 时，f^{'}(x) < 0，函数单调递减；当 x\in(2,\infty) 时，f^{'}(x) > 0，函数又单调递增。
这里出现了两个极值点：-2 和 2。
极值点就是导数为 0 的点的横坐标。这些点就是所说的拐点，它左边和右边的单调性是相反的。
这里，-2 是极大值点，f(-2) 的值比它的邻域的值都要大；2 是极小值点，f(2) 的值比它的邻域的值都要小。
同时，f(-2) 就被称为极大值，f(2) 就被称为极小值。
最值
## 洛必达法则
什么都洛只会害了你。
**内容**
当 $x \rightarrow t$ 时，$f(x)$ 与 $g(x)$ 同时趋近于 $0$,
则
$$
\lim_{x \rightarrow t} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow t} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}
$$
当 $x \rightarrow +\infty$ 时，$f(x)$ 与 $g(x)$ 同时趋近于 $+\infty$,
则
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)}
$$
给道例题感觉一下。
> 对任意 $x>0$ ，有 $(x+1)\ln(x+1) > ax$ 恒成立，则 $a$ 的范围是_____
很自然的给它分个参
$$
a < \frac{(x+1)\ln(x+1)}{x}
$$
设
$$
f(x) = \frac{(x+1)\ln(x+1)}{x}
$$
,那么我们只需要求这个函数的最小值即可。
最小值怎么求？导一下。最小值怎么求？导一下。
$$
f^{'}(x) = \frac{x-\ln(x+1)}{x^2}
$$
这玩意也很难看单调性啊，怎么办？导一下。怎么办？导一下。
令 $h(x) = x-\ln(x+1)
则 h^{'}(x)= 1 - \frac{1}{x+1}
当 x>0 时，h^{'}(x) 恒 >0，所以 h(x) 在 x>0 上是单调递增的，当 x=0 时，h(x) = 0，这就说明了 f^{'}(x) 在 x>0 的时候也是恒 >0 的，这就又说明 f(x) 在 x>0 范围内单调递增。那么最小值就在 x=0 的时候取得。
因此 a\leq f(0) 即可，但是 f(0) 的时候这个式子是无解的啊，怎么办？洛一下。怎么办？洛一下。
设 m = f(0) ，则有
m = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{(x+1)\ln(x+1)}{x}
当 x=0 时，
\frac{(x+1)\ln(x+1)}{x} = \frac{0}{0}
，说明上下都是趋于 0 的。
应用洛必达法则，得：
m = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{(x+1)\ln(x+1)}{x}
= \lim_{x\rightarrow 0}\frac{[(x+1)\ln(x+1)]^{'}}{x^{'}}
= \frac{\ln(x+1)+1}{1}
这时候 x=0 就是有意义的了，答案就是 1，所以 a \leq 1。
高考大题好像不让用，但是选择填空可以用/cy。但是不知道这玩意在 OI 中有没有用，觉得好玩，故记之。
麦克劳林公式
本质是泰勒公式在 x=0 的一种特殊情况。
P(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(x)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)
本质上就是高阶导数和多项式的一一对应，求一个最近似的多项式函数。
真正的泰勒公式
P(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)
我们选择在 x=0 处展开，所以就要近一点，可以利用拉格朗日余项来估算一下误差。
常见的在 0 处展开式子如下。
e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}
\ln(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}
\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16}
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \dots
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} \dots
级数：以 \cos x 为例，如果我们让上式推广到无限项，这无限多项的和，就叫做级数(series)。
收敛和发散：如果一个级数加的越多，它的和越接近某个确定的数值的话，，我们就可以说这个级数收敛到那个值，也就是说这个级数就等于它收敛到的值；反之，如果加的越多，级数不接近任何值，就称这个级数时发散的。
收敛半径：把在用来近似那个点（比如在 x=1 的时候用一个多项式近似 \ln 1）周围，能够让多项式收敛的最大取值范围，就叫做这个级数的收敛半径。
定积分
微分是割线的斜率，导数是切线的斜率，当\Delta x \rightarrow 0 时，它们就是相等的。
导数：是指函数在某一点处变化率的最佳近似。
微分：是指函数在某一点处（趋近于无穷小）的变化量，是一种变化的量
定义
若 $\exists \ I \in \mathbb{R}$ ，对 $[a,b]$ 的所有分割都有
$$
\lim_{\lambda \rightarrow0} \sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i = I (\xi_i\in[x_{i-1},x_i],\lambda \in \max\{\Delta x_i\})
$$
则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 可积。
$I$ 称为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 的定积分，记作
$$
I = \int_a^b f(x)dx
$$
### 可积的条件
两种情况都可
- （1）：连续必可积
- （2）：有界且存在有限个第一类间断点
## 微积分基本定理
神。
$$
g(x) = \int_a^x f(t)dt , \text{且} g^{'} = f
$$
这个说明的是导数和积分其实是互逆的。
积分后再求导得到的是原函数。
求导后再积分得到的是**全体**原函数（有常数）。
$$
\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)
$$
下面这个就是牛顿-莱布尼茨公式。其中 $F(x)$ 表示的是 $f(x)$ 的原函数，$F(x)$ 的导数是 $f(x)$。
举个例子 $f(x) = x^2$ ，那么 $F(x) = \frac{1}{3}x^3 + d$ ，但是 $F(b) - F(a)$ 后 常数项就消没了。
## 自适应辛普森积分
花了十天学你的前置知识。
首先看 3b1b 的视频我们能得出一个小公式。
$\text{一段函数的平均高度} = \frac{\text{面积}}{\text{宽度}}
其中的面积就用积分求。
辛普森公式
用来解决二次函数的定积分。
对二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 在区间 [l,r] 上求定积分，而一阶定积分的几何意义就是图像与 x 轴围成的面积。
求 f(x) 的原函数：
F(x) = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + d
运用牛顿-莱布尼茨公式：
\int_l^r f(x)dx = \frac{a}{3}(r^3-l^3) \frac{b}{2}(r^2-l^2) + c(r-l)
= (r-l)[\frac{a}{3}(r^2+l^2+lr) + \frac{b}{2}(r+l) + c]
= \frac{(r-l)(2al^2+2ar^2+2alr+3bl+3br+6c)}{6}
=\frac{r-l}{6}[(al^2+bl+c)+(ar^2+br+c)+4(a(\frac{l+r}{2})^2+b(\frac{l+r}{2})+c)]
= \frac{(r-l)(f(l)+f(r)+4f(\frac{l+r}{2}))}{6}
这就是区间宽度 \times 平均高度。
自适应辛普森积分法
它的原理是把可积函数分成很多段，每段就可以用二次函数来拟合，也就是把这一段用二次函数来拟合（感觉跟泰勒展开很相似，不过泰勒展开是多项式），套用辛普森公式进行近似计算。
不过这个误差可能会比较大，what should we do？二分。每次判断当前段和二次函数的相似程度，如果足够相似就直接代辛普森公式计算即可，否则将当前段分割成左右两段递归求解。
如何判断当前段和二次函数是否相似？把整段带入公式求一下积分，再将当前段分成左右两端分别代入公式求一下积分。如果当前段的积分和分割后两端的积分相差很小，就可以认为当前段和二次函数是相似的，不用递归分割了。
代码也很简单。
const double eps = ;
double a,b,c,d,l,r;
il double f(double x) { ... }//题目中给出的函数
il double Simpson(double l,double r) { return (r-l)*(f(l)+f(r)+4*(f((l+r)/2)))/6; }//辛普森公式
il double Adaptive_Simpson(double l,double r,double ans)//分治思想
{
double m = (l+r) / 2.0 , a = Simpson(l,m) , b = Simpson(m,r);
if(fabs(a+b-ans) < eps) return ans;
else return Adaptive_Simpson(l,m,a) + Adaptive_Simpson(m,r,b);
}
signed main()
{
scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&d,&l,&r);
printf("%.6lf",Adaptive_Simpson(l,r,Simpson(l,r)));
return 0;
}
为了精确，我们要将 eps 设小一点，往往是 eps = 1e-10。
由此可以看出，这个算法的复杂度是 O(\log \frac{n}{\text{eps}}) ，其中 n 代表的是积分的上限-下限，也就是 r-l。