三角代换&三角形中的恒等与不等关系

lalaji2010 · 2025-03-02 21:56:23 · 算法·理论

Part1 三角代换

通过对满足 A+B+C=\pi 的 A,B,C 进行代换联系二倍关系角。

1.1 半角代换

我们令 A=\frac{\pi}{2}-\frac{A'}{2}，称为用 \frac{\pi}{2}-\frac{A'}{2} 代换 A，代入关于 A,B,C 的式子得到半角关系。

若 A+B+C=\pi，则容易观察得到 A'+B'+C'=\pi。

不过若 A,B,C \in (0,\pi)，则 A',B',C' \in (-\pi,\pi) 才能用其等价代换 A,B,C。

我们发现，代换前后只是角的取值范围发生了变化。

1.2 二倍角代换

我们令 A=\pi-2A'，代入关于 A,B,C 的式子得到二倍角关系。

若 A+B+C=\pi，则容易观察得到 A'+B'+C'=\pi。

此时若 A,B,C \in (0,\pi)，则 A',B',C' \in (0,\frac{\pi}{2}) 才能用其等价代换 A,B,C。

同样我们也会发现，代换前后只是角的取值范围发生了变化。

1.3 AFFECT

下面我们探究该变化对于代换推导的影响。

1.3.1 对不等式进行代换推不等式

如果我们对欲推不等式中 A',B',C' 的范围有要求 A',B',C' \in (m,n)，我们应该考虑对某个取值范围的 A,B,C 进行完代换以后使 A',B',C' \in (m,n)。即 （半角代换时）A,B,C \in (\frac{\pi-n}{2},\frac{\pi-m}{2})，或（二倍角代换时）A,B,C \in (\pi-2n,\pi-2m)，然后对这个范围中的 A,B,C 求不等关系，而后进行代换即可。

若欲推的 A',B',C' 的要求取值集合 M 与依据的 A,B,C 的取值集合 N 不相等，则应充分考虑取值范围的差异对不等关系的影响。

1.3.2 对恒等式代换推恒等式

由于对某个三角恒等式中的 A,B,C 代换为 A',B',C' 时我们只用到了 A+B+C=\pi,A'+B'+C'=\pi 这个性质，而不对其取值范围做任何约束，所以由此推出的恒等式具有正确性。

注：加强命题，任何只用到 A+B+C=\pi 推导出的三角恒等式在任何取值范围具有正确性（不然你猜 ta 为什么叫 恒等式）。

1.3.3 由代换推得的恒等式进行不等关系的转移

由此，我们对所推出恒等式中的 A,B,C 作取值范围的约束时，仍有 LHS \equiv RHS，所以我们无论何时何地总能将恒等式两边互化。据此，我们若能够得到某约束条件下 LHS 的不等关系，则其等价于该约束条件下 RHS 的不等关系。

Prat2 三角恒等式

24 个常用三角恒等式致敬科比。

2.1 角恒等式

当 A+B+C=\pi，我们能够推出一系列关于 A,B,C 的恒等关系。

2.2 几何恒等式

在 2.1 的基础上，我们将 A,B,C 约束在 (0,\pi)，使之构成三角形。由 1.3.2 得，2.1 中的所有恒等式仍适用。

于是我们用 A,B,C,R 表示其他量（a,b,c,p,r 等），可以得到一系列三角形中的几何恒等关系。

未完待续。

三角不等式

一些三角轮换式的取值范围~~~

切不等式

弦不等式