2022CMO游记暨回忆录

codecode · 2022-12-31 23:58:06 · 生活·游记

OI 退役两年半的 Codecode 准备在 2022 年末稍微记录一下今年（下半年）做的事, 要是有时间以后会补满两年半以来的退役生活.

以下内容大致是时间顺序, 包含 2022.5~2022.12 停课以来的五场比赛游记.

一些基本事实(日常)

停课开始于今年五月中旬, 我们一共四个人, 按当时实力计算是 zww(又名 \xi)>>我>>tzy~ly. 当时是为了旁听 ljy 的国家队培训. 培训每次会发大约 6 个题, 听说国家队都接近能做满, 然而我一般不限时也只会两三个, 差距十分大.

国家队一期的培训完刚好快水考学考, 文化课没必要听, 就成功地没有回班上课, 继续停课模式. 非常幸运的, 我们四个获得一间独立教室, 门牌号 606.

按时间算当时离联赛和 CMO 都远得很, 没有任何紧张感, 我们四个人整天处于做题+划水有机结合的模式, 在较长一段时间内发生过我们四个的日搞学时长总和远小于隔壁生物组卷姐的奇特状况.

搞学内容一般是每次每个人供一个题, 这样每个人就需要做三个题, 这是一个上午的量, 下午是讨论讲评, 晚上自习, 每周大约有 4 次这样的互测上午. 事后看这样的互测模式对水平促进非常大. 按这样的模式我们一共进行了约 120 道题, 收录于一系列名为"互测题库"的实体本子上. 周日上午一般有联赛模拟.

划水的内容包括: 扑克、棋类游戏、冰壶、足球、篮球、乒乓球、羽毛球、斯诺克、校园探险、改造教室、搞破坏、聚餐、爬岳麓山等. 这些内容穿插于每天的上午、中午、下午、晚上以及周末, 这段时间还是很快乐的. 教练 px 认为"高手的成长不应有过多制约"并对我们的娱乐活动表示默许, 学校则对制造了过大声响和搞破坏严格制止.

扑克除了通常的一些活动外还包括上海三打一, 这种游戏在之前去上海培训的酒店电视内天天播出, 是我们所熟知的.

ljy 有一间独立的改造自 OI 培训教室的教室, 内有充分多接近方形的大桌子, 其中的 2k 张被组成了 k 个乒乓球桌(略小于标准大小)并构成乒乓球室.

信息楼的大会议室十分空旷, 尤其是天花板极高, 适合作为羽毛球室.

学校的信息楼、科学馆、体育馆、校史馆等楼栋的楼顶都有各种方法上去, 适合日常探险.

爬岳麓山一般由 px 组织, 在较长时间内频率接近每周一次, 山顶的 zoo coffee 还不错.

ly 是精神导师, 他曾强调做题要试小情况 用归纳法, 从我近期做题经验来看十分有用.

CSMC 百年老校数学竞赛

zww 去年参加过一次. 今年是第三届并由我校承办, 出于疫情原因最终线上进行, 没能面基. CSMC 由全国十几所有百年历史的高中参加, 参赛学校规模有日渐扩大的趋势. 比赛模式照抄 IMO, 每校派 6 人, 评分采用协调模式, 最终金银铜分别发放 1/12,2/12,3/12, 今年也为没有拿牌但完整解决了题目的人发放荣誉奖. 赛事有预选题, 由主试委员会和各校领队赛前选出正赛的题目.

主试委员会包括 wb, fyh 等, 题目质量很高, 但由于 wb 的原因题目大都不那么传统. 第一届的题目极难, 第二届难度有所下降, 听 zww 所述去年金牌线达到 \text{40/42pts}, 非常震惊. 不过我校往年战绩都很不错, 可能与所有参赛学校都没有进行选拔有一定关系. 今年包括我校在内的很多学校也进行了选拔, 在预料之内地, 我是 YL-02 并进入正赛. tzy 喜夺 rk 8 并没有进入正赛.

比赛的日程在 8 月 1 日至 5 日, 其中 2, 3 日上午各进行四个半小时的考试. 题目和解答.

考前一天看了下前两届比赛真题, 总体感受是会的就会不会的就不会, 像是科技场. 像第一届的 T3 就是告诉你一个图的所有偶度子图关于对称差运算构成一个线性空间, 且所有基本圈是这个线性空间的基. 这种东西要没见过肯定很难, 但考过一次后就熟知了.

Day 1

首先看 1, 发现可以固定 l-k 是 d, 除了 d 是 100 的约数的情形 a_1 就不能是其它值了. 然后模 3,5,6,10,15 什么的简单讨论就秒了, 事后发现做复杂了好多, 不过考场上没花多少时间, 可能 30min 就做&写好了过程.

然后是几何, 切点都告诉是 S 了啊, 那不就延长 A'S 到圆上看吗, 发现有平行. 然后证相切应该是导角 \angle BSD=\angle CSE, 把外接圆做出来刚好是交在 DE 中垂线和 BC 交点, 那就结束了. 正准备写过程, 突然想知道我为什么马上有感觉要延长 A'S, 原来是构图感觉熟悉, 那这不会是原题吧. 内心 os: 什么 sb 考试开局送两个题.

写完过程开 T3, 此时刚过一个小时, 今天 AK 看似势在必得. 第一问的不等式显然先齐次化, 简单配一下原来就是柯西啊, 10min 拿下. 最后看到这个奇妙的第二问, 才反应过来这个第一问的放缩取不到等, 取不到等, ...彻底懵了, 完全没有思路. 罚坐 2h+, 期间试了小情况, 发现答案还不那么简单, 看上去此题不可做. 接近收卷时分析了一下第一问的放缩什么时候取等, 发现只有 r=\cos\frac{2k\pi}{n}, 但是没写上去, 这其实应该有分.

收卷时特别震惊, 今天大顺风局没能 AK. 考完问了一圈大家做的题完全一样, 那这个 3 第二问确实不可做, 心态稍好了一些, 不过这也意味着今天没有区分度. zww 出考场时随口说了一句"T3 答案关于 r 图像有可能是那些取等点相邻之间连线段, 也就是它们的凸包", 当天晚上和他研究了很久还是不会. 不过最后还真是, 算是神仙题.

估分 7+7+1=15, 实际得分 7+7+3=17.

T3 由于只有上中一个人完整做好, 评卷就放了点水, 第一问占到了 3 分.

T2 确实是原题, 主试委员会扣钱 ! 不过这题第一遍做没那么好做, 算是占了一点便宜.

T3 表明今年仍然延续了科技场的风格. 一种正解是离散傅里叶变换后对二次型放局部不等式, 另一种正解是将要最小化的二次型看成各特征值的加权平均(权是各特征向量所占比重), 这也确实解决了为什么答案图像是凸包的问题. 这题很 wb 风格.

Day 2

出题人怎么这么偏爱 100 啊, 所有可以一般化为 n 的题全部用的特殊值 100 出题.

还是顺序开题, 题目顺序 CAN. T4 的条件就是说任何两个集合对称差大小为 2, 把对称差对集合的作用理解为 \mathbb{Z}_2 上向量的加法, 那一开始可以不妨设有一个是空, 别的都得是二元集, 再随便讨论就做完了. 是个有一点背景的简单题, 这题不到 30min 就做和写完了过程.

T5 第一问简单一试填空题, 看样子是给第二问引入的. 第二问首先可以平移让两个区间关于原点对称, 然后用最优化的想法 f 应该是偶函数, 其实这是等价的, 因为 \tfrac{f(x)+f(-x)}{2} 作为新函数也满足条件. 所以现在只有偶次项, 用 x^2 换元降次并除这个限制. 现在只有一个区间了, 还可以将它平移或缩放.

到这其实都是显然的优化, 题目变成了"一个 50 次的多项式 g 满足在 \left[-1,1\right] 上绝对值不大于 1, 求 g(\tfrac{4901}{99}) 的最大值". 这个条件让人联想到 \text{Chebyshev} 多项式 T_n, 但是考试时脑子不知道怎么回事又是 2h+ 不知道怎么证, 期间想过待定一些点 x_1,x_2,\cdots,x_n 带进去用条件放三角不等式, 为了解系数还算过 \text{Vandermonde} 行列式, 效果甚微, 并没能手算出 x_i 的值. 到开考 4h 了还没看 T6, 只好在这一步写了"由 \text{Chebyshev} 多项式的性质"糊弄过去, 最后写上答案.

最后半个小时赶紧看 T6, 题面实际上是要证明 a+b+c 充分大不行, 马上用 \text{stirling} 公式意识到双阶乘的量级 n!>((2-\varepsilon)n)!! 对给定的 \varepsilon 有 n 充分大时都对, 然后考虑两边的素因子, 有一些出现一次, 另一些两次三次什么的, 居然精心设置了常数后用素数定理找素数直接就大小关系矛盾了. 很激动, 就像是随便口胡的第一个想法撞到了正解, 匆忙写完交卷.

哦这不是正解, 我只证了充分大不行, 素数定理可估不到 2022, T6 还是挂了.

下考后交流, zww 和高一 sto zrz orz 神仙切了 T6, 除了我都没做出 T5 答案 ?? 那我们都考的不算好啊.

估分 7+3+3=13, 实际得分 7+6+5=18.

非常戏剧性的, T5 我没做出来的步骤有 n 种方法随便秒掉(例如对 g 和 T_n 都在 T_n 的极值点处用 \text{Lagrange} 插值, 或者反证法+直接对 (1-\varepsilon)g-T_n 用介值定理发现零点个数多了)我考场上还一直在死磕做不出来, 也因此只扣了 1 分.

感谢 T6 评卷人 zj 认为我的方法非常独特且很有想法, 施舍了 5 分.

Day4 颁奖, 35pts 侥幸夺金(听说是 rk7/78), Au 线 34 分. 还是校内第二, zww 比我多 2 分.

比赛拿金还是很增长信心的.

这之后就进入联赛备战了, 常规性的联赛模拟和一试训练稍微有点无聊. 有几次联考的联赛模拟还有点意思, 毕竟是和其它学校比赛. 我们和其它五校进行了几次六校联考, 还有三次希望联盟组织的考试. 这东西的第二次还不是联赛模拟, 三次考试出错了一道题, 体验感一般. 不过有评奖, 大约是 rk 10~20 拿下了一等奖.

联赛模拟期间我都发挥稳定, 最后平均在 250+ 分, 很满意. 并且模拟期间明显感觉水平在稳步提升, 体现在二试的 1&2 总用时从 30min 开始单调递减, 最低到过 5min-(做&写), 然后稳定在 10min 左右.

全国高中数学联赛

考点在 CJ, 考前最后一次联赛模拟是(四大)\setminus(附中)联合在 CJ 全真考的, 好评.

一试填空四棱锥看成三棱锥, 破大防, -8pts. T11 时间不够了, 只写了 10 分的量. 102pts.

考完一试时我们四个对答案, T8 的组合计数我们有五个不同答案且构成等差数列, 我的答案因为是等差数列的中项而最终成为标准答案(雾).

二试的 1&2 是顺利的, 但文本量较大, 写完花了约 45min. 然后看 3 这个屑离散代数题, 不会. 开始漫长的找答案, 先发现了一个局部的调整性质并利用它在约 40min 后确定了最小值是 40940. 发现时间不多开始有点慌了. 柯西直接放只能到 40885, 适当拿出几项再放还可以大一点, 但是仍差了几十. 想到可以用拉格朗日恒等式更精确一些, 但是没用. 一直在反复的手动数值计算中到了只剩不到 30min, 感觉完蛋， 赶紧抽出 5min 弄了 T4 答案构造, 然后一直口胡 T3 过程猜结论到下考.

估分 40+40+20+10=110pts, 碰到 zww, 他花了大量时间但还是切了 T3, 原来是线性拟合放局部啊, 听着挺简单, 寄.

传闻 dzb AK 一试二试, 不知真假.

若干天后省内评出来给了我 T3 50!? 省内水平果然不行看来我口胡功底不错. 这样就有 242pts 拿下 \text{HN-02}. 按这次评出的成绩我校有 10+ 个省队, 且确实是按实力厉害的那些, 皆大欢喜.

又若干天后听说反转了, 这份提交到上海的省队名单没有通过.(被 yyj 否了) 不过也正常, 确实改卷粗糙. 上海重评给出的参考成绩里我 T3 就只剩 10 分, 但省内依然靠前. 然后省内重评.

双若干天后公布成绩, 听说和上海给的参考成绩一致, 喜提 \text{HN-07}. 这样我校仍有 10 个省队, 但结构大有不同, 几个高二高三的高手出局并新进来了两个高一的, 精神导师 ly 在此寄了. 其它几校也是与原先预定的名单大有不同, 在两方面导致全队战力大减: 一是大量高手无缘决赛, 二是新来的这些少了近两个月的备战时间.

今年和去年省队名单的交集大小只有 4(含两个去年的集训队), 而总共有三十多人.

省队培训呈现老带新的面貌, 总体欢乐. 我们的互测模式被延续到了我校的省培, 又多了近 50 道题. 赛前省里面组织了约 40 天统一培训, 今年是第二年采用此形式, 仍在 CJ 集中, 效果显著.

今年没有和其它省的联考, 其实是劣势, 毕竟我们都知道今年省队的实力并不如往年.

省培后期有世界杯看, Perfect. 赛前猜冠军, 包括葡萄牙西班牙德国法国巴西荷兰英格兰克罗地亚, 没想到最后是阿根廷. 在好几次模考期间的半夜都有球赛, 但是我们都看了, 身体素质++.

THU 丘领军

这东西考数分+线代+群论+物理, 我是去玩的. 今年决赛由于疫情原因并不在 THU, 而是紧急避险到了千年老校苏州中学.

四个人里就我去了, 他们初赛都没报. 比赛时间是九月下旬, 也就是联赛刚结束. 由于我本身目标不在这, 考前其实没做准备. 根据我平时课外阅读划水的积累, 技能点全在数分.

考试分笔试面试体测, 笔试过了的进入后面两个环节. 参加笔试的有好几百人, 最终百余人进面试. 笔试分两场, 后一场是现学现考, 挺有意思.

苏州美食真好吃, 但是我吃了一个星期 KFC.

第一场八道题, T1 算积分, 会的; T2 给一个行列式和迹非零的全体二阶矩阵构成的集合到自身的映射问是否是双射, 解方程我还是会的; T3 考线性空间维数定义(吧), 反正能做; T4 是投影不等式, 这东西 ayh 今年给我们集训队培训时讲过, 然后我没去听, 亏大了, 不会; T5 大意是证 \text{SL}(2,\mathbb{Z}) 可以由两个生成元和乘法运算得到, 口胡是递降, 不会; T6 群论, 不会; T7 不等式, 基本能做; T8 是函数方程, f:\mathbb{Z}^2\rightarrow\mathbb{R} 满足模 (\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z})^2 周期, 且在某个行列式为 1 的有互异实特征值的二阶整矩阵作用在变元上不改变函数值, 不会.

第二场现学现考的数学部分是双曲几何, 讲了双曲测度和保测度的分式变换. 后来在数论书上看到了这东西, 离谱. 考题较简单, 最后一题用一步 \text{Green} 公式也就结束了. 物理部分是统计力学, 讲了 \text{Maxwell-Boltzmann} 分布, 和几个例子(理想气体状态方程下的分布、粒子的自旋等), 考题困难(当然我也不会物理), 计算较多, 好一些题目都是让在某个模型下 \text{Taylor} 展开提取主要影响项, 不是很有趣. 物理部分只得了三十多分.\kk

以为自己考的不好, 结果进面试了. 面试是三对一, 三个人轮流轰炸专业问题, 我懵逼状态下熬过 20min. 体测没有跑步, 乐.

一个多月后出成绩, 得了待定约, 我没签（

zrz 直博成功, 成为学长！

PKU 金秋营

这东西在十一月, 考两个上午, 共 8 个题. 往年会评一等奖, 只有十几个人. 联赛省一可报, 我们低年级的省队都去当练习赛玩了. 同一天有 THU 的金秋营, 但是是在下午, 共 6 个题. sto ly orz 时间管理大师, 两边都去考了.

还是由于疫情原因在线上, 分省集中, 又在 CJ.

今年是原题杯. 题目.

Day 1

题目顺序 AGNC. 拿到试卷 T3 非常瞩目, 去年省培 yhb 还讲过加强版的, 花了 30min 写了过程, 开局大顺风.

然后就顺序开题了, T1 给了多项式序列 P_n 的递推公式问各项正负实根个数, 写了几项发现可以归纳证明 P_n-P_{n-1} 和 P_n 都是正系数的, 归纳过程中发现需要同时归纳证明 P_n'-P_{n-1}' 和 P_n' 也都是正系数和恒正的, 然后结合 \deg P_n 是奇数就得到有 1 个负实根和 0 个正实根, 又是约半个小时搞定了这题.

T2 的几何不好做, 没发现性质. 罚坐了一会儿果断计算, 这题花了将近 1h, 其实有点久. 但不影响今天大顺风.

T4 开始还以为是要 A+A=A-A, 差点去问监考这不是做不到吗, 猛然发现是要大小一样就可以. 要证明这样的 A\subseteq S=\{0,1,2,\cdots,n-1\} 的个数有 \Theta(2^n), 猜测取满 S+S,S-S 的也有这个量级, 这样好处理了很多. 考虑反面, 比如什么时候 a\not\in A+A, 这表明有很多二元对不都在 A 中, 直观感觉不太可能发生——所以用概率方法, 对每个 k\in S 等概率地独立决定是否在 A 中, 则 a\not\in A+A 的概率基本是 (\tfrac{3}{4})^{k/2}, 比较小, 至少全部加起来有界. 边界的几个比较大, 所以修改方案为: 令 0,1,\cdots,99,n-1,n-2,\cdots,n-100 都在 A 中并对剩下 n-200 个数独立等概率选择是否在 A 中, 再估计反面的概率就对了. 这题也只花了 1h, AK 了很开心.

zww 今天也 AK 了, tzy 切了 123, 都不错.

Day 2

题目顺序 (G/C)NCA, 拿到试卷 T5 的有界闭令人望而生畏, 马上又看到 T8, 嗯 原题. 原型是 FJOI, 这还是简化版, 我在互测题里也出过原题, 大家都撞大运.

先开 T8, 马上回想了两种方法, 一种是把生成函数弄出来直接 \text{Lagrange} 反演, 另一种是能对应到组合意义上, a_n 统计的实质上是将一个 2n+2 边形分成 n 个四边形的方法数, 这可以对应到格点路径上, 然后无限延伸再划分等价类, 答案是广义 \text{Catalan} 数. 考虑到法二文本量过大, 我选择了拉格朗日反演偷懒, 第一次把这东西写进过程感觉还挺帅气.

回到 T5 继续探索, 它给的竟只是凸的, 没说是多边形, 马上判断这题就是考察严格叙述能力. 又想起在 \text{The Art Of Mathematics Coffee Time In Memphis} 里有一个问题是讨论本原固定集的, 仿照那里的方法中的一部分用到这题上, 就得到一个思路: 把边界上的整点取出来, 相邻两个之间的边界要么是直线段, 要么是两段直线段交于一点, 否则可以对这个局部适当位似得到更大的好的凸集(这里也用上了有界闭), 所以极好的都是多边形, 再分析发现每条边内部都有整点. 最后要排除大于四边都不行, 我用 \text{Pick} 定理否定掉了这种情况. 考后 zww 说只用五个点有两个点模 2 同余, 那它们中点就在内部矛盾了. 确实简单些.

想到两天做了 6 个题了就开始划水, T6T7都基本没看, 快收卷时赶紧口胡了 T6T7 一点过程.

zww 和 tzy 都做了 568, 并且 6 超简单, 亏了.

他们的 8 都用组合方法写了好多, 真勤奋.

很久之后有发奖, 今年奖项取名文艺许多, 一等奖变成卓越奖, 在这之上还设了特别奖博雅奖, 令我有些意外地是我得了博雅但是 tzy 只有卓越, 猜测是 48 的权重更大一些, 也可能是我用了拉格朗日反演.

ly 考 THU 的做了 5/6, 他没做的 T6 也是原题, 去年省培讲过, 而且是国外的赛题, 乐.

CMO 中国数学奥林匹克

又名全国中学生数学冬令营. 历史上 CMO 的时间有过几次调整, 早年是在 1 月份, 后来历次提前并于 2013 还是 2014 年改到了 11 月份, 当年就有两次冬令营. 从那以后时间就乱了, 人们一般用届次来区分, 今年是 38 届. 不过那次时间的变动距今已久远, 近几年用年份仍然能区分.

去年由于疫情原因在考前宣布推迟一个月, 最后比赛日期是 12.21,22. 今年干脆没有先定下比赛日期, 直到赛前两周才公布, 最后定在 12.29,30, 没有推迟到下一年造成今年无 CMO 的惨案.

又是疫情原因, 线上举办, 分省集中考试, 这次在 SDFZ.

线上举办没有开幕式没有活动只有考试, 震惊.

Day -2 阳了, 凶. 好在精神都正常, 能考试. 不过因此没有参加最后一次模考的 d2.

省培期间的模拟考 AK 过几天, 较有信心.

Day 1

被分在了隔离考场, 一共 5 个人. pt 也在, 难兄难弟. 监考员是大白打扮, 我们五个的座位摆在教室正中间, 其余桌椅都被清空, 还是有点不习惯的.

7:58 发卷后立即开始看题, 不知道是阳了的影响还是心态原因, 这一天考的很紧张, 一定程度上制约了发挥.

T1 明显一试代数题, 但做了快半个小时才意识到要解通项, 解完通项就完成了第一问. 看第二问首先反应是把通项带进去, 最终只要比较 a_1 与 b_1+197-(b_1+198)^{-1}. 先猜结论, 让 b_1\rightarrow 0 明显发现 a_1<1<197, 所以右边大. 考虑证明, 条件是 a_{100}=b_{99} 得到的一个长式子, 关于 a_1 的那边是单调的, 所以把 a_1=b_1+197-(b_1+198)^{-1} 代入 比较, 另一边有约分的结构, 留两项在左边把其它项放缩并约分就比完了. 这题明显是送, 但我弄了快一个半小时, 基本是逆风开局.

看 T2 马上想的是怎么作图, 直到下考都不会. 又点出了 \text{Miquel} 点, 结果犯蠢只看出来是 \text{Fermat} 点没看出是定点, 这条唯一的正解被我否掉了. 发呆 1h, 考虑暴力计算, 点 E,Y 的位置相对固定, 设了 \angle AEF=\theta 然后解出 EF, 表达式冗长但可接受, 这样得到了一个面积. 垂直得出两个三角形顺相似且 \angle AYZ=\theta+\tfrac{\pi}{2}, 然后解出 YZ, 类似得到另一个面积, 由于先预设到最后是个定值, 很自信地算下去确实能抵掉很多, 大部分都形如 \sin^2 u+\sin^2(u+\tfrac{\pi}{2})=1, 最后只剩下三内角 \alpha,\beta,\gamma 的对称式, 我算出的答案是 \tfrac{64\sqrt{2}+40\sqrt{3}}{15}, 至此到了 4h, 只好直接开 T3.

意料之内地答案错了, 因为我没时间检查了. 正确答案是 \tfrac{97\sqrt{2}+40\sqrt{3}}{15}, 偏偏只错了一个系数让人很不能理解. 复卷时仔细重新做了一遍没发现问题, 原来是最后一步代数值计算错了, 亏大了, 这得扣一个点. 如果评卷时不仔细看可能扣更多. 大概是有一步加法要加 100, 我只加了 1, 导致这一步结果本来是 291 的却成为了 192, 除以 3 后分别是正解的系数 97 和我的 64.

半个小时口胡 T3, 题面其实挺漂亮的. 先发现只用证对任何 P(\mathcal{W}) 都能找到 P(\mathcal{B})\geq P(\mathcal{W}), 对偶地有另一半, 就可以得到 \max P(\mathcal{B})=\max P(\mathcal{W}). 然后写了一个归纳的框架, 写了奠基, 归纳过渡想的是找到靠边的匹配边然后把一侧的黑点全部匹配出去, 第一感觉这是正解. 晚上回想起来感觉最有用的还是前面的转化, 估计能得分.

下考后得知 zww tzy 都没做完 T2, 但是 zww 切了 T3.

估分 21+18(15)+3=42(39).

Day 2

开考前想着今天要翻盘, 按前一天的成绩算是寄了.

看到卷子后眼睛很舒服, 没有前一天写满一页纸的大号字体题面, 也没有毒瘤 yyj 的计算几何, 三道题都是常规题看着就可做.

T4 看完题开始构造, 第一个构造就是 n=6 的正解, 马上猜 3,4,5 都不对. 3,4 是明显的, 5 的时候由于形状不确定所以按凸包分类, 注意到 A_iA_{i+1} 不能是凸包的边就有唯一需要讨论的是五边形的情况. 五条边只能是对角线, 中点只能是对角线交点, 分有共同中点和中点互异的情况. 前者有四点构成平行四边形, 仿射成矩形后第五个点位置只有两个点, 都是矛盾的. 后者算五条对角线的长度之和, 每个小三角形里两边之和大于第三边, 也矛盾了. 这题过程很长, 但到写完只花了 30min, 算是找回了一点平时模拟考的感觉.

继续开 T5, 设出最大公约数 d 再约掉, 新的等差数列里不能有 d 的素因子只好对每个素因子列一个同余方程, \text{CRT} 得到模 d 有解, 这些项构成新的等差数列 {A+nD}, 首项和公差是互素的. 要在这里面找无平方因子, 考虑有平方因子 p^2 时每连续 p^2 项只能有一项是这样, 在前 N 项里计数就有个数不多于