多边形镶嵌问题
Red0rangE
·
·
个人记录
正多边形镶嵌研究
我们讨论的镶嵌问题是指用一些边长相等的全等图形（一种或多种）完成不留空隙不相重叠且具有无限延展性的密铺。
正多边形内角计算公式
想要做到不留空隙不相重叠且具有无限延展性，必须做到补全周角，即共顶点的多边形的角度和为 360^\circ，所以我们要先求出内角。
首先对于 n 边形，我们有内角和公式：
s = (n-2) \times 180^\circ
因为我们讨论的是正多边形，所以各个角相等，设 \alpha 为内角大小：
\alpha = \dfrac{s}{n} = \dfrac{(n-2) \times 180^\circ}{n}
或者我们可以以多边形的中心为顶点，各边为底，做等腰三角形：
可以做出 n 个三角形，这些三角形全等 (SSS)，所以顶角 \beta 都相等，底角 \theta 都相等。
\therefore \beta = \dfrac{360^\circ}{n}
\therefore \theta = \dfrac{180^\circ - \beta}{2}
每个内角 \alpha=2\times\theta
\therefore \alpha=180^\circ-\dfrac{360^\circ}{n}=\dfrac{n \times 180^\circ-2\times180^\circ}{n}=\dfrac{(n-2) \times 180^\circ}{n}
单独镶嵌的正多边形
显然如果一个正多边形可以单独镶嵌，必须满足：
360^\circ \bmod \alpha = 0
即内角可以被周角整除。
\therefore 360^\circ \bmod \dfrac{(n-2) \times 180^\circ}{n} = 0
我们可以先设 x 个角镶嵌成一个 360^\circ，那么 x\in \mathbb{Z^+} 且为 360 的因数。又因为每个正多边形的内角度数 60^\circ \leq \beta < 180^\circ，所以 2 < x \leq 6。那么 x \in \{3,4,5,6\}，而其中 x=5 时 \alpha =72^\circ 不符合推出的结论。
综上，只有正三角形、正四边形（正方形）、正六边形符合要求。
## 组合镶嵌的正多边形
### 两种图形组合镶嵌
设 $x$ 个正 $n$ 边形和 $y$ 个正 $m$ 边形。$n$ 边形内角为 $\alpha^\circ$，$m$ 边形内角和为 $\beta^\circ$。
则:
$$n \cdot \alpha + m \cdot\beta =360$$
可以找出组合：正方形 ＆ 正八边形，正三角形 ＆ 正六边形,正三角形 ＆ 正方形,正十二边形 ＆ 三角形。
给出证明：
#### $\mathit{1}
2 \times 135^\circ + 1 \times 90^\circ = 360^\circ
得出两个正八边形和一个正四边形可以镶嵌。
比较有趣的是，同一种组合有不同的排布方式：
但并不意味着你可以随便排布：
\mathit{2}
3 \times 60^\circ + 2 \times 90^\circ = 360^\circ
这种组合有比较赖的拼法：拼出两条来，这两条就随便黏上。
另一种：
\mathit{3}
2 \times 60^\circ + 2 \times 120^\circ = 360^\circ
\mathit{4}
1 \times 60^\circ + 2 \times 150^\circ = 360^\circ
多种图形组合镶嵌
设每个镶嵌由 n_1 边形、n_2 边形…… n_m 边形共 k 个多边形组成 (\forall n \in \mathbb{Z^+},\forall n \geq 3)，可以得出：
\dfrac{(n_1-2) \times 180^\circ}{n_1}+\cdots+\dfrac{(n_m-2) \times 180^\circ}{n_m}=360^\circ
\sum\limits_{i=1}^k \dfrac{(n_i-2) \times 180^\circ}{n_i} = 360^\circ
\sum\limits_{i=1}^k \dfrac{n_i-2}{n_i}=2
\sum\limits_{i=1}^k (\dfrac{n_i}{n_i}-\dfrac{2}{n_i})=2
\sum\limits_{i=1}^k (1-\dfrac{2}{n_i})=2
\sum\limits_{i=1}^k \dfrac{2}{n_i}=k-2
即：
\begin{matrix}\underbrace{n_1+n_2+\cdots+n_m}\\ \text{共} k \text{个} \end{matrix}
\dfrac{2}{n_1}+\dfrac{2}{n_2}+\cdots+\dfrac{2}{n_m}=k-2
按照我们的推论，可以进一步找出许多密铺组合。
\dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{6}+\dfrac{2}{12}=3-2
\dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{6}=4-2
END