假设下标从 0 开始。对下标的置换为 i\rightarrow(c+i)\bmod n 或 i\rightarrow(c-i)\bmod n。根据 Burnside，考虑枚举一个置换和整体增量 x，求出此时不变的方案数。
第二种比较简洁，发现构成若干自环和二元环，图画出来比较美观。n 为奇数时，一定存在恰好一个自环，这要求 x=0，然而一定存在由相邻的点构成的二元环，所以答案为 0。n 为偶数时，若 c 为偶数，则存在相对的两个自环，答案为 A(\dfrac n 2 +1)。若 c 为奇数，全部为二元环，但存在两个由相邻的点构成的二元环，x=\dfrac m 2，答案为 [2|m]A(\dfrac n 2)。
考虑第一种，构成了 g=\gcd(n,c)个环，环长为 d=\dfrac n g。要求 dx\equiv 0\pmod m 即 \dfrac m{\gcd(m,d)}|x，0..g 相邻点不同色，其中 a_g\equiv a_0+kx\pmod m。kx\equiv0\pmod m 时，方案数即为 B(g)，否则为 mC(g-1)。注意到 k 满足 kc\equiv g\pmod n 即 k\dfrac c g\equiv 1\pmod d，\gcd(k,d)=1。kx\equiv 0\pmod m 等价于 kq\equiv0\pmod{\gcd(m,d)}，而 \gcd(k,m,d)=1，所以当且仅当 q=x=0。此时答案为 F(g)=mC(g-1)[\gcd(m,\dfrac n g)-1]+B(g)。