双绝对值方程性质初探

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双绝对值方程 形如 a|f(x,y)|+b|g(x,y)|=1

设函数 f:R^2 \rightarrow R^2 其中 f(P)=(f(P),g(P))

引理1 若 A,B,C 三点共线， 则 A'=f(A), B'=f(B), C'=f(C) 三点共线

证明1

设 w_{AB} 为直线 AB 的斜率, 有 w_{AB}=w_{BC} 即

\frac{\Delta_1}{\Delta_2}=\frac{\Delta_3}{\Delta_4}=k \Delta_1 \Delta_4 = \Delta_2 \Delta_3

设 f(x,y)=ax+by+c\space g(x,y)=mx+ny+k

有

w(A'B')=\frac{m\Delta_1+n\Delta_2}{a\Delta_1+b\Delta_2} \space w(B'C')=\frac{n\Delta_3+m\Delta_4}{a\Delta_3+b\Delta_4}

则

w(B'C')=\frac{km\Delta_1+kn\Delta_2}{ka\Delta_1+kb\Delta_2} =w(A'B') $\therefore 当 m,n>0 时，对 |x|+|y|=1 上的每一点 P,f(P) 的图像即为a|f(x,y)|+b|g(x,y)|=1 \therefore 同理可得m,n在任意情况下，当m,n\ne 0时其图像为平行四边形且对称轴为f(x,y)=0与g(x,y)=0