deepthink（数学篇）
Graphcity
·
2025-02-10 20:11:28
·
个人记录
我应该不止很多次的说过：高考对我来说不存在智力障碍。
但是的确有非常多次考试，不管是因为时间压力（可能是试卷本身比较卡手，或者前面因为失误浪费比较多时间），心理紧张，又或者是「我认为很有时间压力」「我认为这道题目花的时间会超过它的分数带来的价值」，还是因为「我认为这道题目并不能在考试时做完」，在实际考试过程中会有非常多的题目跳过 / 失误 / 带来一系列的连锁问题。
下面选择了一些我在考场上跳过的题目（全部都是选择或者填空）。在考试之后我对这些题目又重新进行了比较冷静的思考，实际上绝大多数题目我花的时间都不会超过 5min。
21 世纪最重要的品质是「淡定」。
——刘晖
已知 f(x)=\ln x+\dfrac{1}{2}x-a ，若存在 m\in[1,e^2] 使得 f(f(m))=m ，则 a 的取值范围是：
A. [2-\dfrac{1}{2}e^2,-1+\ln 2] [1-\dfrac{e}{2},-1+\ln 2] [-\dfrac{1}{2},1-\dfrac{e}{2}] [-\dfrac{1}{2},0]
答案：A
关键：找到隐藏结论。
令 f(m)=t ，则 f(t)=m 。这句话看似是废话，但是仔细一想会发现它并不是废话。注意到 f(x) 同时过 (m,t),(t,m) 两个点，这说明 f(m) 存在关于 y=x 对称的两点。但 f(m) 又是递增函数，一个递增的函数凭什么能存在关于 y=x 对称的两个点呢？答案只能是这两个点重合了，就在 y=x 上。
一句话，就是 f(m)=m 。也就是 g(m)=\ln m-\dfrac{1}{2}m=a ，g'(m)=\dfrac{1}{m}-\dfrac{1}{2} ，所以 a\in[\min(g(1),g(e^2)),g(2)]=[2-\dfrac{1}{2}e^2,-1+\ln 2] ，选 A。
已知 a_1=2,na_n=S_n+S_{n-1} ，令 T_n=\sum_{i=1}^n2^nS_n ，下列说法正确的是：
A. T_{20}<2^{30} T_{20}>2^{35} T_{30}<2^{40} T_{30}>2^{45}
答案：A
关键：学会估算。
找规律得到 a_n=2n,2^nS_n=2^nn(n+1) 。
有一个显然的估计：因为 2^nS_n>2\times 2^{n-1}S_{n-1} 所以 T_n<2S_n 。D 光速排除，A 光速选择。
我们考虑按照类似于数位 DP 的方式比较 C。T_{30}=2^{30}\times 30\times 31+T_{29} ，而 2^{40}=1024\times 2^{30} 。我们只需要比较 T_{29} 和 (1024-930)\times 2^{30}=188\times 2^{29} 。因为 29\times 30>>>188 ，C 光速排除。
用类似的方法比较 T_{20} 和 2^{30},2^{35} 的大小，基本上算到 T_{19} 你就能明显感觉到大小关系了。
如图，四边形 AA_1C_1C 为菱形，B_1C_1 平行于 BC ，B_1C_1=\dfrac{1}{2}BC ，\angle C_1CA=60^\circ ，AB=AC=2 ，\angle BAC=120^\circ ，则：
A. AC\perp A_1B AC_1\parallel 平面 A_1BB_1 A_1B=\sqrt 6 ，二面角 A_1-AB-C 的正弦值为 \dfrac{\sqrt 5}{5} 。A_1B=\sqrt 3 ，此六面体的体积为 \dfrac{5}{4}\sqrt 3 。
本题命题人：刘晖
答案：ABD
对于 A 选项，可以发现过 A_1,B 两点和 AC 的垂线段交于同一点。也就是说，平面 ACC_1A_1 在绕 AC 为轴旋转。所以平面 AA_1B 肯定垂直于轴 AC 。
对于 B 选项，要证 AC_1\parallel 平面 ABA_1 即证 AC_1\parallel 平面 ABA_1 和平面 ACC_1A_1 的交线 A_1D 。容易发现三角形 A_1DC_1 为等边三角形，所以显然成立。
对于 C 选项，代入数据发现 AA_1\perp AB ，可以直接以 A 为原点建系。\overrightarrow{BA}=(1,\sqrt 3,0) ，\overrightarrow{BA_1}=(0,\sqrt 3,\sqrt 3) ，\overrightarrow{AC}=(2,0,0) ，那么二面角对应两个平面的法向量分别是 (\sqrt 3,-1,1) 和 (1,0,0) ，算出来是余弦值是 \dfrac{1}{\sqrt 5} 而不是正弦值。
对于 D 选项，我们倍长 C_1B_1 到 E ，只需要用平行六面体 ABC-A_1EC_1 的体积减去四面体 B-A_1B_1E 的体积即可。代入数据：V=\sqrt 3\times \dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt 3}{2}\times \dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{4}\sqrt 3 。
过点 P(-1,0) 向曲线：C_n:x^2-2nx+y^2=0\ (n\in \mathrm{N^*}) 引一条切线，切点为 P_n(x_n,y_n) ，下列说法正确的是：
A. \sum_{i=1}^{2025} \ln x_i=-\ln 2026 y_n=\dfrac{2n\sqrt{n+1}}{n+1} n>3 时，x_1\times x_3\times \cdots\times x_{2n-1}<\dfrac{x_n}{y_n} \dfrac{x_n}{y_n}<\sqrt 2\sin\sqrt{\dfrac{1-x_n}{1+x_n}}
答案：ACD
无它，暴力计算。
直接设切线方程为 x=ky-1 ，联立曲线方程（实际上是个圆），得到 (k^2+1)y^2=(2k+2kn)y+2n+1=0 ，这个方程只能用求根公式爆算，\Delta=4k^2n^2-4-8n=0,\ k=\dfrac{\sqrt{2n+1}}{n} ，代回去解得 y_n=\dfrac{n}{n+1}\sqrt{2n+1} ，B 错误。
代回到原直线方程解得 x_n=\dfrac{n}{n+1} ，A 选项有 \sum_{i=1}^{2025}\ln i-\ln (i+1)=\ln 1-\ln 2026=-\ln 2026 ，A 正确。
对于 C 选项，即证 \dfrac{1\times 3\times\cdots\times (2n-1)}{2\times 4\times\cdots\times 2n}<\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}} 。考虑两边平方，同时又注意到 \dfrac{n}{n+1}<\dfrac{n+1}{n+2} ，那么左边就可以放成 \dfrac{1\times 2}{2\times 3}\times \dfrac{3\times 4}{4\times 5}\times\cdots\times \dfrac{(2n-1)\times 2n}{2n\times (2n+1)}=\dfrac{1}{2n+1} ，成立！
对于 D 选项，即证 \dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}<\sqrt 2\sin\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}} 。令 t=\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}<\dfrac{1}{\sqrt 3} ，令 f(t)=t-\sqrt 2\sin t ，有 f'(t)=1-\sqrt 2\cos t ，因为 t<\dfrac{\pi}{4} 所以 f'(t)<0 ，f(t)<f(0)=0 成立！
已知 C_1:x^2+(y-2)^2=1 ，双曲线 C_2:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0) 的左，右焦点分别为 F_1,F_2 ，P 为双曲线右支上一点，直线 PF_2 斜率恰好为离心率 e ，且 \triangle PF_1F_2 为直角三角形，则
A. e 的值唯一|PF_2|=\dfrac{2a}{e-1} 1<e<2 C_2 渐近线与 C_1 有 4 个交点
本题命题人：刘晖
答案：ABD
如图，设 HF_2=h ，则 HP=eh ，PF_2=h\sqrt{e^2+1} ，根据射影定理 HF_1=e^2h ，F_1P=eh\sqrt{e^2+1} 。根据定义 e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{F_1H+F_2H}{F_1P-F_2P}=\dfrac{\sqrt{e^2+1}}{e-1} ，得到 \sqrt{e^2+1}=e^2-e 。
注意到等式左边是一次曲线，右边是二次曲线，交点只有一条，A 正确。而 2a=F_1P-F_2P=h\sqrt{e^2-1}(e-1) ，PF_2=h\sqrt{e^2+1} ，所以 B 正确。
对于 C，观察到 \sqrt{2^2+1}=\sqrt 5>2=2^2-2 ，所以这两条线暂时还没相交，所以 e>2 ，C 错误。
对于 D，公共点个数之和渐近线到圆心距离有关。(0,-2) 到直线 bx-ay=0 距离为 \dfrac{2a}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{2}{e}<1 ，所以圆和两条渐近线相交，有四个交点，D 正确。
已知点 F 为抛物线 y^2=2px 的焦点，过 y 轴左侧一点 P 作抛物线的两条切线，切点为 A,B ，PA,PB 分别交 y 轴于 M,N 。设 A(x_1,y_1) ，B(x_2,y_2) ，则：
A. k_{PA}\times k_{PB}=\dfrac{p^2}{y_1y_2} P,N,F,M 四点共圆\dfrac{OM}{ON}=\dfrac{MA}{MP} \dfrac{OM}{ON}=\dfrac{FA}{FB}
答案：ABC
本题的关键在于不要去对着 P 点去想，以及 B 选项不要暴力算角度。
两条切线分别为 l_1:yy_1=p(x+x_1) ，l_2:yy_2=p(x+x_2) 。根据直线方程可知 k_1=\dfrac{p}{y_1},k_2=\dfrac{p}{y_2} ，A 正确。
对于 B，根据直线方程可得 M(0,\dfrac{y_1}{2}) ，N(0,\dfrac{y_2}{2}) 。因为这是多选题，所以肯定有巧算的方法。注意到 k_{MF}=-\dfrac{y_1}{p}=\dfrac{-1}{k_1} ，所以 MA\perp MF 。同理 NB\perp NF ，所以 P,N,F,M 四点共圆，B 正确。
对于 C ，令 P(x_0,y_0) ，应用点差法，对两直线方程做差得到 y_0(y_1-y_2)=p(x_1-x_2)=\dfrac{y_1^2-y_2^2}{2} ，所以 y_0=\dfrac{y_1+y_2}{2} ，代入任意一条你喜欢的直线方程可以得到 x_0=\dfrac{y_1y_2}{2p} 。所以 \dfrac{OM}{ON}=|\dfrac{y_1}{y_2}|=|\dfrac{x_A}{x_0}| 成立！
D 错的比较离谱，\dfrac{FA}{FB}=\dfrac{x_1+p/2}{x_2+p/2} ，并没有找到任何其与 \dfrac{y_1}{y_2} 之间的联系。
设直线 y=t 与函数 f(x)=x(x-3)^3 的三个交点为 A(a,t),B(b,t),C(c,t)\ (a<b<c) ，则
A. f(x) 对称中心为 (2,2) abc 取值范围为 (0,12) ac 取值范围为 (0,4) c-a 取值范围为 (3,2\sqrt 3]
答案：ACD
解答的关键在于利用三元韦达并且把 b 设为主元解不等式。
对于 A 选项，求导得 f'(x)=3(x-1)(x-3) ，所以肯定是以 (2,f(2)) 为对称中心。A 正确。画图可以知道 t\in(0,4),b\in(1,3) 。
对于 B 选项，利用三元韦达对方程 x(x-3)^2=t 处理：
\begin{cases}
a+b+c=6\\
ab+bc+ac=9\\
abc=t
\end{cases}
注意到任意一个变量确定了，剩下三个变量都会确定。对于 B 选项，用第三个式子，因为 t\in(0,4) ，所以 abc\in(0,4) ，B 错误。
对于 C，由 2 式得 b(a+c)+ac=b(6-b)+ac=9 ，又因为 b\in(1,3) ，所以 ac\in(0,4) 。
对于 D，由 1 式得 a+c=6-b 。知道 a+c,ac 的求法，那么 c-a=\sqrt{(a+c)^2-4ac}=\sqrt{3}\times\sqrt{-b^2+4b} 解得 c-a\in(3,2\sqrt 3] 。
随机将 1,2,\cdots,2n 这些数字分成 A,B 两组，每组 n 个数字。令 x=E(|\max (A)-\max (B)|) 。当 n=3 时，x=? ；若对任意 n>2 ，x<c 恒成立，则 c 的最小值为 ?
答案：1.5；2
方法一：打表可以知道 x_n=\dfrac{2n}{n+1} ，则 \lim_{n\to \infty}x_n=2 。
方法二：我们强制认定 2n 在 A 组中。考虑 |a-b| 的组合意义，就是数字 a,b 之间的空位数。枚举空位 (i,i+1) ，包含这个空位的概率为 \dfrac{\dbinom{i}{n}}{\dbinom{2n-1}{n}} 。所以答案为 \dfrac{1}{\dbinom{2n-1}{n}}\sum_{i<2n}\dbinom{i}{n}=\dfrac{\dbinom{2n}{n+1}}{\dbinom{2n-1}{n}}=\dfrac{2n}{n+1} 。
已知椭圆 \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0) 的左右焦点分别为 F_1,F_2 ，P 为椭圆上不与顶点重合的一点，I 为 \triangle PF_1F_2 的内心，记直线 OP,OI 斜率分别为 k_1,k_2 ，若 k_1=\dfrac{3}{2}k_2 ，则椭圆离心率为：
A. \dfrac{1}{3} \dfrac{1}{2} \dfrac{\sqrt 3}{3} \dfrac{\sqrt 2}{2}
本题命题人：郝楠楠，李斑
答案：B
关键：二级结论大杂烩
令 P(x_0,y_0) ，有 y_0=k_1x_0 。由内切圆，r=\dfrac{S}{a+c}=\dfrac{y_0c}{a+c} 。令 IH\perp F_1F_2 于 H 。
由二级结论，PF_1=a+ex_0 ，PF_2=a-ex_0 。由内切圆性质，PF_1-PF_2=F_1H-F_2H ，又因为 F_1H+F_2H=2c ，解得 F_1H=c+ex_0 ，x_I=ex_0 ，I(ex_0,\dfrac{y_0c}{a+c}) 。
所以 k_2=\dfrac{y_0c}{(a+c)ex_0}=\dfrac{k_1c}{e(a+c)}=\dfrac{k_1}{1+e} ，解得 e=\dfrac{1}{2} 。
已知 f(x),g(x)=f'(x) 定义域均为 \mathrm{R} 。若 f(1+x)-f(3-x)=x-1 ，且 f(2x+1) 是奇函数，则
A. h(x)=\dfrac{1}{2}x-f(x+2) 是奇函数g(0)=\dfrac{1}{2} \sum_{i=1}^{24}f(i)=138 \sum_{i=1}^{24}g(i)=12
本题命题人：郝楠楠，李斑
答案：B CD
关键在于把 f(x) 改造为一个周期函数。
令 \varphi(x)=f(x)-\dfrac{x}{2} ，则有：\varphi(1+x)=\varphi(3-x) ，f(1+x)=-f(1-x)\Rightarrow \varphi(1+x)-\varphi(1-x)=-1 。
所以 \varphi(x) 是一个以 (1,-0.5) 为对称中心，x=2 为对称轴的周期函数。
对于 A 选项，比较离谱，不知道在干什么，也不知道出题人是怎么出出来的。
对于 B 选项，g(x)=\varphi'(x)+\dfrac{1}{2} ，g(0)=\dfrac{1}{2} 正确。
对于 C 选项，根据周期性注意到 \sum_{i=1}^{24}\varphi(i)=-0.5\times 24=-12 ，所以答案等于 -12+\dfrac{24\times 25}{2}=138 ，正确。
对于 D 选项，同样根据周期性 \sum_{i=1}^{24}\varphi'(i)=0 ，所以 \sum_{i=1}^{24}g(i)=12 ，正确。
已知 C_1:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0) ，F_1 为左焦点。C_1 上的点到 F_1 距离最小值为 2-\sqrt 3 。点 A_1,A_2 在双曲线上，且关于原点对称，P 也在双曲线上，k_{PA_1}\times k_{PA_2}=\dfrac{1}{3} ，则 C_1 的渐近线方程为？；过点 P 作 C_2:x^2+(y+2)^2=2 的两条切线，切点分别为 PM,PN ，则 \overrightarrow{C_2M}\cdot\overrightarrow{C_2N} 最大值为？
本题命题人：郝楠楠，李斑
答案：y=\dfrac{\sqrt 3}{3}x 或 y=-\dfrac{\sqrt 3}{3}x ；\bold{-\dfrac{2}{3}}
关键：二级结论大杂烩。
首先可以发现 A_1,A_2 两个点用完即扔，典中典二级结论 k_1\times k_2=\dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{1}{3} ，所以渐近线为 \dfrac{y^2}{x^2}=\dfrac{1}{3} 。有 a=\sqrt 3b ，c=2b ，双曲线方程为 x^2-3y^2=3b^2 ，代入距离方程 \sqrt{(x-2b)^2+y^2}=\sqrt{\dfrac{4}{3}x^2-4bx+3b^2} ，解得 b=1 ，所以 a=\sqrt 3,c=2 ，双曲线方程为 x^2-3y^2=3 。
注意到 \overrightarrow{C_2M}\cdot\overrightarrow{C_2N} 只跟 \angle MC_2N 有关，而 \angle MC_2N 只跟 |PC_2| 有关，所以我们考虑求 |PC_2| 的范围。x^2+(y+2)^2=4y^2+4y+7\ge 6 ，所以 |PC_2|\ge \sqrt 6 。
然后 \cos\angle MC_2N=\cos(2\angle PC_2N)=2(\dfrac{2}{|PC_2|^2})-1\le -\dfrac{1}{3} ，所以 \overrightarrow{C_2M}\cdot\overrightarrow{C_2N}\le -\dfrac{2}{3} 。
（原题是错题）已知曲线 (x^2+y^2)^2-4x^2=0 ，点 M(x_1,y_1),N(x_2,y_2) 在曲线上，且 x_1<0<x_2 ，则：
A. 曲线由两个圆构成|\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}| 的 取值范围 是 [0,4] |\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}| 的 取值范围 是 [0,2] \overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON} 的 取值范围 是 [-4,\dfrac{1}{2}]
答案：ACD
平方差公式：((x-1)^2+y^2-1)((x+1)^2+y^2-1)=0 ，就是以 (-1,0),(1,0) 为圆心，半径为 1 的两个圆，A 正确。
对于 B 选项，注意到 |MN| 的取值范围中，由于 x_1\not=0,x_2\not=0 ，两个点不能重合，取值范围是 (0,4] 。（原题中写的是 |\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}|\in[0,4] ，这个自然也是对的）
对于 C 选项，注意到 |\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}|=|\overrightarrow{OO_1}+\overrightarrow{OO_2}+\overrightarrow{O_1M}+\overrightarrow{O_2N}|=|\overrightarrow{O_1M}+\overrightarrow{O_2N}| ，这就很简单了。这两个向量反向取到最小值 0，同向取到最大值 2。
对于 D 选项，最小值显然，考虑最大值怎么求。我们假设 \overrightarrow{ON} 是固定的，根据点积的几何定义，M 点一定过左边那个圆垂直于 ON 的切线。
令 \angle NOO_2=\theta ，根据几何关系 ON=2\cos\theta ，O_1K=\dfrac{1}{\cos\theta} ，\overrightarrow{OM} 在 \overrightarrow{ON} 向量处的投影是 (O_1K-OK)\cos\theta=\cos\theta-1 。所以点积的结果是 2\cos\theta(1-\cos\theta)\le \dfrac{1}{2} ，当 \cos\theta=\dfrac{1}{2} 时取等。
过原点的直线 AB 交椭圆于 A,B 两点，过点 A 分别作 x 轴和 AB 的垂线 AP,AQ ，分别交椭圆于 P,Q 。连接 BQ 交 AP 于 M ，若 AM=\dfrac{3}{4}AP ，则椭圆的离心率为？
A. \dfrac{1}{3} \dfrac{1}{\sqrt 3} \dfrac{1}{2} \dfrac{\sqrt 3}{2}
本题命题人：刘晖
答案：D
实际上本题最快的解决办法是用尺子量 。
关键：从二级结论出发把握斜率关系
注意到 BP\perp PA 。有 k_{AQ}\times k_{BQ}=-\dfrac{b^2}{a^2} （二级结论），k_{AB}\times k_{AQ}=-1 ，k_{AB}=4k_{BQ} ，解得 a=2b,c=\sqrt 3b,e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt 3}{2} 。