How to understand CMVT with Feelingzzz

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How to understand CMVT with Feelingzzz

设 f(x) 和 g(x) 是定义在区间 [a,b] 上的连续函数，并且在开区间 (a,b) 上可导。如果 g′(x) 在区间 (a,b) 内不为零，则存在某个点 \xi\in(a,b)，
使得：
\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}

Proof

直接把 f(b)-f(a) 抽象为一个斜率为 \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=k_f 的一次函数，直接理解导数为 f'(x)=k_f。

对 g 做同样处理。

得到：

f(b)-f(a)=k_f (b-a) g(b)-g(a)=k_g (b-a)

即：

\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{k_f}{k_g}

又：

f'(\xi)=k_f,g'(\xi)=k_g \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{k_f}{k_g}

那么：

\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}

证毕。