12-05 数分好难2
huangzirui
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个人记录
什么情况下函数 f 的导数 f' 会不连续？
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考虑这样的一个函数：
$$
f(x)=
\begin{cases}
x^2\sin(\dfrac{1}{x}) & x\not=0\\
0 & x=0
\end{cases}
$$
就有：
$$
f'(0)=\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}x\sin(\dfrac{1}{x})=0
$$
此外，对非 $0$ 的 $x$，就有：
$$
f'(x)=2x\sin(\dfrac{1}{x})-\cos(\dfrac{1}{x})
$$
这意味着 $\lim_{x\to 0} f'(x)$ 其实并不存在（震荡），也就是 $f'$ 在 $0$ 其实并非连续。
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事实上如果 $f'$ 不连续，那就只能含有震荡间断点。下面说明这件事：
设 $f'$ 在 $x_0$ 间断，假设 $\lim_{x\to x_0} f'(x)=A$ 存在。
就有 $\lim_{x\to x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}f'(x)=A$，这就蕴含连续。
因此只能是 $\lim_{x\to x_0}f'(x)$ 不存在。
（中间用了洛。然而我还没学到。说不定哪里有问题也未可知）