对于集合 G，若 \forall x,y\in G,x*y\in G，则称 G 对于二元运算 * 封闭，或 * 是 G 上的二元运算。
称满足以下条件的集合 G 和 G 上的二元运算 * 构成一个群：
注意 * 是 G上的二元运算，因此你可能还需要验证封闭性。
我们发现这套符号系统很像乘法，因此可以沿用类似乘法的方式，记幺元为 1，记 a*b 为 ab，记 k 个 a 连乘为 a^k。
若群 G 内仅有有限个元素，则称 G 为有限群。若群 G 内有无限个元素，则称 G 为无限群。称有限群 G 中元素的个数为 G 的阶，记作 |G|。
我们参考子集和真子集的定义。对于群 G，若集合 H\subseteq G，且 H 符合群的定义，则称 H 为 G 的子群，记作 H\le G（其实严格的定义不是这样的）。特别地，当 H\ne G 时，称 H 为 G 的真子群，记作 H<G。我不知道为什么要用 < 号，可能是为了区分群本身作为集合时的子集。只要记住这里没有序关系就行了。
对于 G 的子群 H 和元素 a\in G，定义 H 的（左）陪集aH=\{ah:h\in H\}。
根据 G 的封闭性可得，aH\subseteq G。
当 a\notin H 时，aH 不是群，因为没有幺元。
直观理解一下：我们从 H 外面选一个元素 a，和 H 内的所有元素乘一遍，肯定会得到一个大小为 |H| 的集合，记作 aH。首先我们发现，H 和 aH 没有交集。如果我们在 H 和 aH 之外再选一个 a'，则 H,aH,a'H 也两两不相交。换句话说，我们可以把 G 划成一族大小为 |H| 的集合。于是就有我们的拉格朗日定理：
\forall G,H<G,\exist k\in Z,k|H|=|G|
对于群 G 的任意子群 H，|H| 整除 |G|。
对于一个群 G，若 \exist a\in G,\forall b\in G,\exist k\in\mathbf{Z},b=a^k，则称 G 为循环群。直观来看就是，群 G 中的每一个元素都可以表示为 a 的 k 次幂。称 a 为 G 的生成元，记为 G=\left<a\right>。当然，一个循环群内可能有多个元素可以作为它的生成元。
称 |\left<a\right>| 为元素 a 的阶。显然有 a^{|\left<a\right>|}=e。
对于正整数 m\ge2，所有小于 m 且与 m 互素的整数对于模 m 意义下的乘法构成一个群，其大小为 \phi(m)。