数列推导（个人笔记11）

## 求一个递推式的通项公式。 ----- 已知有一个递推公式: $$ f(x)=2*f(x-1)+(-1)^n $$ 其中 $ f(1)=0 $ 问通项公式? 等式右边有 $2^n$ 所以先把这一个给去掉即可. 原式可化为: $$ \frac{f(n)}{(-1)^n}=\frac{2*f(n-1)}{(-1)^n}+1 $$ $$ \frac{f(n)}{(-1)^n}=\frac{-2*f(n-1)}{(-1)^{n-1}}+1 $$ 设另个函数 $g(n)$ $$ g(n)=\frac{f(n)}{(-1)^n} $$ 代入原式子 $$ g(n)=-2*g(n)+1 $$ 可以看出 $g(n)$ 和 $g(n-1)$ 是**等比关系**.因为把系数 $-2$ 去掉是个**等差数列**,把常数 $1$ 去掉是个**等比数列**,合起来,就是一个等比数列了. 等比数列都可以换成同一种形式 $$ g(n)+b=k(g(n-1)+b)$$ 已知 $ k=-2 $ , 代入 $$ g(n)+b=-2g(n-1)-2b $$ $$ g(n)=-2g(n-1)-3b $$ $$ -3b=1 $$ $$ b=-\frac{1}{3} $$ 整理 $k=-2 , b=-\frac{1}{3} $,我们就得到了一个等比数列 $$ a_n=g(n)-\frac{1}{3} $$ $$ a_n=-2*a_{n-1} $$ 根据性质, $$ a_n=(-2)^{n-1}*a_1 $$ 所以我们只需要再求出 $a_1$ 就行了 把 $ f(1)=0 $ 带进去算 $$ g(1)=\frac{f(1)}{(-1)^1}=0 $$ $$ a_1=g(1)-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3} $$ 最后解出来了: $$ a_n=(-2)^{n-1}*(-\frac{1}{3})=2^{n-1}*(-1)^{n-1}*(-\frac{1}{3}) $$ 返回依次解 $g(n)$ , $f(n)$ $$ g(n)=a_n+\frac{1}{3}=2^{n-1}*(-1)^{n-1}*(-\frac{1}{3})+\frac{1}{3} $$ $$ f(n)=g(n)*(-1)^n=(2^{n-1}*(-1)^{n-1}*(-\frac{1}{3})+\frac{1}{3})*(-1)^n$$ 进行最后一步化简: $$ f(n)=2^{n-1}*(-1)^{2n-1}*(-\frac{1}{3})+\frac{1}{3}*(-1)^n$$ $$ f(n)=2^{n-1}*\frac{1}{3}+\frac{1}{3}*(-1)^n $$ $$ f(n)=\frac{2^{n-1}+(-1)^n}{3} $$ ----- - #### 总结： 求一个形如 $f(n)=a*f(n-1)+b*n$ 的式子的时候 先把式子化成 $g(n)=a*g(n-1)+b$ 的形式 再用等比数列求,然后把已知的 $f(1)$ 或 $f(0)$ 代入 最后在逆推求出 $f(n)$ 即可