用初中物理的知识给出质数的通项公式
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:::info[内容来自]{open}
BJ 中考物理评标要求。思路来源：学校同学讨论。
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:::error[生成式人工智能大模型使用说明：]{open}
声明：本文由作者独立思考并原创撰写，全文未使用任何人工智能（AI）工具辅助生成。
:::
总览
质数的定义：在大于 1 的自然数中，除了 1 和它本身以外不再有其他因数的自然数。
设 f(x) 的值为一个数是否是质数，我们可以先考虑边界条件：
\begin{cases}f(1) = 0 \\ f(2) = 1 \end{cases}
然后提出两个假设：
- 当 x 为偶数时，f(x) 与 x 成反比例。
- 当 x 为奇数时，f(x) 与 x 成正比例。
考虑各做 6 组实验证明：
实验 1
我们先明确自变量 x，因变量 f(x)，控制单位不变。考虑数字的单位是个，但是没有一个合理的国际单位来定义，那么我们使用单位 N_A \times mol。因此我们只需要控制 1 mol 的物质数量不变即可。我们无法完全避免误差，所以尽量减少误差，将 1 mol 尽量控制为 6.022 \times 10^{23}。实验全程保持实验室温度为 20℃、标准大气压，并在同一高度水平桌面上操作。
我们推测 f(x) 与 x 成反比例，然后进行实验：
4 的实验
调节器材计算器，使其避免宇宙射线的干扰。
具体操作：在计算器上点击对应按键，输入算式。
读出 x \bmod k 的值，并记录在表格中。
| x |
k |
x \bmod k |
| 4 |
1 |
0 |
| 4 |
2 |
\color{Red}0 |
| 4 |
3 |
1 |
| 4 |
4 |
0 |
因此 4 不是质数，f(4) = 0。
重复 5 组实验
调节器材计算器，使其避免宇宙射线的干扰。
具体操作：在计算器上点击对应按键，输入算式。
读出 x \bmod k 的值，并记录在表格中。
| x |
k |
x \bmod k |
| 6 |
1 |
0 |
| 6 |
2 |
\color{Red}0 |
| 6 |
3 |
\color{Red}0 |
| 6 |
4 |
2 |
| 6 |
5 |
1 |
| 6 |
6 |
0 |
因此 6 不是质数，f(6) = 0。
调节器材计算器，使其避免宇宙射线的干扰。
具体操作：在计算器上点击对应按键，输入算式。
读出 x \bmod k 的值，并记录在表格中。
| x |
k |
x \bmod k |
| 8 |
1 |
0 |
| 8 |
2 |
\color{Red}0 |
| 8 |
3 |
2 |
| 8 |
4 |
\color{Red}0 |
| 8 |
5 |
3 |
| 8 |
6 |
2 |
| 8 |
7 |
1 |
| 8 |
8 |
0 |
因此 8 不是质数，f(8) = 0。
调节器材计算器，使其避免宇宙射线的干扰。
具体操作：在计算器上点击对应按键，输入算式。
读出 x \bmod k 的值，并记录在表格中。
| x |
k |
x \bmod k |
| 10 |
1 |
0 |
| 10 |
2 |
\color{Red}0 |
| 10 |
3 |
1 |
| 10 |
4 |
2 |
| 10 |
5 |
\color{Red}0 |
| 10 |
6 |
4 |
| 10 |
7 |
3 |
| 10 |
8 |
2 |
| 10 |
9 |
1 |
| 10 |
10 |
0 |
因此 10 不是质数，f(10) = 0。
调节器材计算器，使其避免宇宙射线的干扰。
具体操作：在计算器上点击对应按键，输入算式。
读出 x \bmod k 的值，并记录在表格中。
| x |
k |
x \bmod k |
| 12 |
1 |
0 |
| 12 |
2 |
\color{Red}0 |
| 12 |
3 |
\color{Red}0 |
| 12 |
4 |
\color{Red}0 |
| 12 |
5 |
2 |
| 12 |
6 |
\color{Red}0 |
| 12 |
7 |
5 |
| 12 |
8 |
4 |
| 12 |
9 |
3 |
| 12 |
10 |
2 |
| 12 |
11 |
1 |
| 12 |
12 |
0 |
因此 12 不是质数，f(12) = 0。
调节器材计算器，使其避免宇宙射线的干扰。
具体操作：在计算器上点击对应按键，输入算式。
读出 x \bmod k 的值，并记录在表格中。
| x |
k |
x \bmod k |
| 14 |
1 |
0 |
| 14 |
2 |
\color{Red}0 |
| 14 |
3 |
2 |
| 14 |
4 |
2 |
| 14 |
5 |
4 |
| 14 |
6 |
2 |
| 14 |
7 |
\color{Red}0 |
| 14 |
8 |
6 |
| 14 |
9 |
5 |
| 14 |
10 |
4 |
| 14 |
11 |
3 |
| 14 |
12 |
2 |
| 14 |
13 |
1 |
| 14 |
14 |
0 |
因此 14 不是质数，f(14) = 0。
实验 1 结论
先画表格：
| x |
f(x) |
| 4 |
0 |
| 6 |
0 |
| 8 |
0 |
| 10 |
0 |
| 12 |
0 |
| 14 |
0 |
因此，我们可以得出结论：f(x) = \frac{0}{x}，f(x) 与 x 成反比例。
实验 2
我们先明确自变量 x，因变量 f(x)，控制单位不变。考虑数字的单位是个，但是没有一个合理的国际单位来定义，那么我们使用单位 N_A \times mol。因此我们只需要控制 1 mol 的物质数量不变即可。我们无法完全避免误差，所以尽量减少误差，将 1 mol 尽量控制为 6.022 \times 10^{23}。实验全程保持实验室温度为 20℃、标准大气压，并在同一高度水平桌面上操作。
我们推测 f(x) 与 x 成正比例，然后进行实验：
3 的实验
调节器材计算器，使其避免宇宙射线的干扰。
具体操作：在计算器上点击对应按键，输入算式。
读出 x \bmod k 的值，并记录在表格中。
| x |
k |
x \bmod k |
| 3 |
1 |
0 |
| 3 |
2 |
1 |
| 3 |
3 |
0 |
因此 3 是质数，f(3) = 1。
重复 5 组实验
调节器材计算器，使其避免宇宙射线的干扰。
具体操作：在计算器上点击对应按键，输入算式。
读出 x \bmod k 的值，并记录在表格中。
| x |
k |
x \bmod k |
| 5 |
1 |
0 |
| 5 |
2 |
1 |
| 5 |
3 |
2 |
| 5 |
4 |
1 |
| 5 |
5 |
0 |
因此 5 是质数，f(5) = 1。
调节器材计算器，使其避免宇宙射线的干扰。
具体操作：在计算器上点击对应按键，输入算式。
读出 x \bmod k 的值，并记录在表格中。
| x |
k |
x \bmod k |
| 7 |
1 |
0 |
| 7 |
2 |
1 |
| 7 |
3 |
1 |
| 7 |
4 |
3 |
| 7 |
5 |
2 |
| 7 |
6 |
1 |
| 7 |
7 |
0 |
因此 7 是质数，f(7) = 1。
调节器材计算器，使其避免宇宙射线的干扰。
具体操作：在计算器上点击对应按键，输入算式。
读出 x \bmod k 的值，并记录在表格中。
| x |
k |
x \bmod k |
| 9 |
1 |
0 |
| 9 |
2 |
1 |
| 9 |
3 |
\color{Red}0 |
| 9 |
4 |
1 |
| 9 |
5 |
4 |
| 9 |
6 |
3 |
| 9 |
7 |
2 |
| 9 |
8 |
1 |
| 9 |
9 |
0 |
因此 9 不是质数，f(9) = 0。
发现结果不符合预期，为了减小偶然误差，使用 3 台不同品牌的计算器分别计算 9 \bmod 3，读数分别为 0、0、0，求平均值 \frac{0 + 0 + 0}{3} = 0。
调节器材计算器，使其避免宇宙射线的干扰。
具体操作：在计算器上点击对应按键，输入算式。
读出 x \bmod k 的值，并记录在表格中。
| x |
k |
x \bmod k |
| 11 |
1 |
0 |
| 11 |
2 |
1 |
| 11 |
3 |
2 |
| 11 |
4 |
3 |
| 11 |
5 |
1 |
| 11 |
6 |
5 |
| 11 |
7 |
4 |
| 11 |
8 |
3 |
| 11 |
9 |
2 |
| 11 |
10 |
1 |
| 11 |
11 |
0 |
因此 11 是质数，f(11) = 1。
调节器材计算器，使其避免宇宙射线的干扰。
具体操作：在计算器上点击对应按键，输入算式。
读出 x \bmod k 的值，并记录在表格中。
| x |
k |
x \bmod k |
| 13 |
1 |
0 |
| 13 |
2 |
1 |
| 13 |
3 |
1 |
| 13 |
4 |
1 |
| 13 |
5 |
3 |
| 13 |
6 |
1 |
| 13 |
7 |
6 |
| 13 |
8 |
5 |
| 13 |
9 |
4 |
| 13 |
10 |
3 |
| 13 |
11 |
2 |
| 13 |
12 |
1 |
| 13 |
13 |
0 |
因此 13 是质数，f(13) = 1。
实验 2 结论
先画表格：
| x |
f(x) |
| 3 |
1 |
| 5 |
1 |
| 7 |
1 |
| 9 |
\color{Red}0 |
| 11 |
1 |
| 13 |
1 |
发现，在 x = 9 时，并不符合我们的推测。绘制函数图像时用平滑曲线连接后，无法看出有效规则。
考虑到实验误差只能减小，无法避免，因此我们忽略一组错误数据。
因此，我们可以得出结论：f(x) = 0x + 1，f(x) 与 x 成正比例。
整合结论：
f(x) = \begin{cases} 0 , x = 2 \\ 1 , x = 2 \\ x \bmod 2 , x \ge 3\end{cases}
因此我们得出大于 3 的奇数都是质数，除此之外，依据定义，2 也是质数，这就是质数的通项公式了。
笑点
:::info[补充说明：]{open}
防止没有上过 BJ 初中的人看不懂这篇文章在说什么。
:::
- 本文只有 AI 使用说明是 AI 生成的，其余部分没有使用 AI 生成。
- 因为 BJ 中考评标中说明：2 组实验可得自变量与因变量有关，3 组实验可得越...越...的关系，6 组实验可以得到正反比例函数关系。
伽利略做了 6 组实验发现万有引力。
- 原本化学家表示 6.022 \times 10^{23} 这个量是没有单位的，因为单位是“个”，mol 和 N_A 这两个单位是物理学家发明的。
- 实验要明确自变量，因变量，控制变量。因为可以不控制对结果没有影响的变量，因此被称为假探究。
- 物理实验需要验证完整情况，不能只枚举到 \sqrt{N} 或者遇到 x \bmod k = 0 就直接停止运算。
- 即使 x 没有任何变化，因为其参与了因变量的计算公式，所以要写很多遍相同的数字。
- 反比例系数不能为 0。
- 绘制函数图像时需要使用平滑曲线，即使这个函数是一个布偶型函数。
- 多次测量求平均值可以不再视为考虑误差。
-
- 正比例函数系数不能为 0。
- 正比例函数是 kx 而不是 kx + b，这点在关于温度的函数中大有问题。
- 通过物理运算得出的质数即奇数结论是完全错误的。
- 我解决了质数分布无规律的难题，快给我发图灵奖。