欧拉公式的通俗推导

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欧拉公式

在高一必修一， 我们学过一个基础的指数函数y = e ^ x, x \in R

也了解了复数可以表示为a + b i

那你有没有想过求e ^ {a + bi}呢

即设f(x) = e ^ x求f(a + bi)

我们回顾指数函数的运算法则可以知道：

e ^ {a + bi} = e ^ a \cdot e ^ {bi}

问题转变为求f(x) = e ^{ix}的值

我们根据e ^ x的性质可以快速得到f(x)的导数，即

f'(x) = ie^{ix}

那我们容易求出

f'(0) = ie^{i \cdot 0} = i

类似的我们可以求出f(x)的n阶导的值：

f(0) = 1, f'(0) = i,f''(0) = -1, f'''(0) = -i \cdots \cdots

那我们就可以对f(x)作麦克劳林展开:

f(x) = e^{ix} = 1 + ix - \frac{x ^ 2}{2!} - i\frac{x ^ 3}{3!} + \frac{x ^ 4}{4!} + i\frac{x ^ 5}{5!} + \cdots \cdots

又因为

\sin x = x - \frac{x ^ 3}{3!} + \frac{x ^ 5}{5!} + \cdots \cdots \cos x = 1 - \frac{x ^ 2}{2!} + \frac{x ^ 4}{4!} + \cdots \cdots

所以我们得到

e^{ix} = \cos x + i\sin x

这就是大名顶顶的欧拉公式了

当然我们也有:

e^{ix\alpha} = (\cos x + i\sin x)^\alpha = cos \ \alpha x + isin \ \alpha x

这就是大名鼎鼎的棣莫弗公式