《高等数学》习题2.7选做

1. 求下列变上限积分所定义的函数的导函数 (1) $\displaystyle F( x) =\int _{1}^{x^{2}}\frac{\mathrm{d} t}{1+t^{2}}$ 解：$\displaystyle F'( x) =\frac{2x}{1+x^{4}}$ (2) $\displaystyle G( x) =\int _{0}^{1+x^{2}}\sin t^{2}\mathrm{d} t$ 解：$\displaystyle G'( x) =2x\sin\left( 1+x^{2}\right)^{2}$ (3) $\displaystyle H( x) =\int _{x}^{1} t^{2}\cos t\mathrm{d} t$ 解：$\displaystyle H( x) =-\int _{1}^{x} t^{2}\cos t\mathrm{d} t,H'( x) =-x^{2}\cos x$ (4) $\displaystyle L( x) =\int _{x}^{x^{2}}\mathrm{e}^{-t^{2}}\mathrm{d} t$ 解：$\displaystyle L( x) =\int _{0}^{x^{2}}\mathrm{e}^{-t^{2}}\mathrm{d} t-\int _{0}^{x}\mathrm{e}^{-t^{2}}\mathrm{d} t,L'( x) =2x\mathrm{e}^{-x^{4}} -\mathrm{e}^{-x^{2}}$ 2. 设 $\displaystyle y=f( x)$ 在 $\displaystyle [ a,b]$ 上连续，证明 $\displaystyle F_{0}( x) =\int _{a}^{x} f( t)\mathrm{d} t$ 在 $\displaystyle a$ 处有右导数，且 $\displaystyle F_{0} '\left( a^{+}\right) =f( a)$。 解：由积分中值定理，存在 $\displaystyle c\in ( a,x)$ 使得 $\displaystyle f( c)( x-a) =F_{0}( x) -F_{0}( a)$，因此 $\displaystyle F_{0} '\left( a^{+}\right) =\lim _{x\rightarrow a^{+}}\frac{F( x) -F( a)}{x-a} =\lim _{c\rightarrow a^{+}} f( c) =f( a)$。 3. 设 $\displaystyle y=f( x)$ 在 $\displaystyle [ a,b]$ 上连续。假定 $\displaystyle f$ 有原函数 $\displaystyle F( x)$ 且 $\displaystyle F( a) =0$，证明当 $\displaystyle a\leq x\leq b,F( x) =\int _{a}^{x} f( t)\mathrm{d} t$。 解：考虑 $\displaystyle G( x) =F( x) -\int _{a}^{x} f( t)\mathrm{d} t$，由于 $\displaystyle G'( x) =0$，可知 $\displaystyle G( x) =C$，由 $\displaystyle G( a) =0$ 可知 $\displaystyle C=0$，也就证明了相等。 5. 设 $\displaystyle y=f( x)$ 在 $\displaystyle [ a,b]$ 上可积，且 $\displaystyle | f( x)| \leq L$，证明：变上限积分 $\displaystyle F( x) =\int _{a}^{x} f( t)\mathrm{d} t$ 满足 Lipschitz 条件：$\displaystyle | F( x_{1}) -F( x_{2})| \leq L| x_{1} -x_{2}| $。 解：不妨设 $\displaystyle x_{1} \geq x_{2}$，此时有 $\displaystyle | F( x_{1}) -F( x_{2})| =\left| \int _{x_{2}}^{x_{1}} f( t)\mathrm{d} t\right| \leq \int _{x_{2}}^{x_{1}} |f( t) |\mathrm{d} t\leq \int _{x_{2}}^{x_{1}} L\mathrm{d} t=x_{1} -x_{2}$。 6. 求函数 $\displaystyle G( x) =\int _{0}^{x}\left(\mathrm{e}^{t}\int _{0}^{t}\sin z\mathrm{d} z\right)\mathrm{d} t$ 的二阶导数。 解：$\displaystyle G'( x) =\mathrm{e}^{x}\int _{0}^{x}\sin z\mathrm{d} z$，因此 $\displaystyle G''( x) =\mathrm{e}^{x}\left(\int _{0}^{x}\sin z\mathrm{d} z+\sin x\right) =\mathrm{e}^{x}( 1-\cos x+\sin x)$。