椭圆的一些二级结论
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个人记录
椭圆有关二级结论
1.焦点三角形面积公式
【公式】椭圆 \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 上一点 P 与两个焦点 F_1,F_2 连线满足 \angle F_1PF_2=\theta，则焦点三角形 \triangle PF_1F_2 的面积满足
S=b^2 \tan \dfrac{\theta}{2}.
当 \theta 最大时，S 最大。
2.焦半径公式
【前置知识】椭圆的第二定义
椭圆 \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) 中，设直线 \color{red}x=\pm \dfrac{a^2}c 为椭圆的准线（右准线、左准线），则椭圆上任一点到焦点的距离 与 对应准线的距离之比，恰等于离心率 e。
【公式】椭圆上任一点 P(x_0,y_0) 与焦点 F_1,F_2 的连线的长度满足
\left\{\begin{aligned} |PF_1|=a+ex_0 \\ |PF_2|=a-ex_0\end{aligned}\right..
其中，F_1 在 F_2 的左侧，记法是 “左加右减”。
3.通径
若 F_1(-c,0)，AF_1\perp x轴，则 A\big(-c,\dfrac{b^2}{a}\big)，通径的长度是
\dfrac{2b^2}{a}.
4.共焦点的椭圆模型
两个椭圆分母的差为定值，那么它们共焦点。这样的椭圆有很多，例如：
\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1,\ \dfrac{x^2}{24}+\dfrac{y^2}{15}=1,\ \dfrac{x^2}{25-k}+\dfrac{y^2}{16-k}=1(k<16)\cdots
5.点差法及其推论
【点差法】即“代点作差法”。如果椭圆中出现弦的中点，那么可以代点、作差，构造中点坐标公式和斜率公式求解。
【推论】若直线 l 与椭圆 \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{y^2}=1 交于 A,B 两点，AB 的中点为 M，点 O 为坐标原点。则直线 l 的斜率和直线 OM 的斜率乘积满足
k_{OM}\cdot k_l=-\dfrac{b^2}{a^2}.
6.焦准距和焦点弦长公式
【焦准距】我们把右焦点 F_2(c,0) 与右准线 x=\dfrac{a^2}c 之间的距离叫做焦准距，用 p 表示，即
p=\dfrac{b^2}c.
类似的，左焦点 F_1(-c,0) 和左准线 x=-\dfrac{a^2}c 的距离也是 p。
【焦点弦长公式】过焦点的弦长为
|MN|=\dfrac{2ep}{1-e^2\cos^2\theta}=\dfrac{\dfrac{2b^2}{a}}{1-e^2\cos^2\theta}
其中，\dfrac{2b^2}a 是通径，\theta 是该弦 MN 所在直线的倾斜角。
7.超级韦达定理式（压箱底的）及其推论
直线 Ax+By+C=0 与椭圆 \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) 联立，得到的韦达定理式由下面的公式给出：
(1)\ x_1+x_2=\dfrac{-2ACa^2}{a^2A^2+b^2B^2}
(2)\ x_1x_2=\dfrac{a^2(C^2-b^2B^2)}{a^2A^2+b^2B^2}
由韦达定理还原得到的方程如下：
(3)\ (a^2A^2+b^2B^2)x+2ACa^2\cdot x+a^2(C^2-b^2B^2)=0
判别式是：
(4)\ \Delta=4a^2b^2B^2(a^2A^2+b^2B^2-C^2)
口诀：
- 消谁划谁；
- 求谁翻谁；
- 消谁减谁；
- 消灭单身狗；
- 用别人的材料做自己的 \Delta。
解释：
- 在 (1) 式中，我们消 y，因此把 y 的系数 b、B 划掉，在分子只留下 x 的系数 a、A。
- 在 (2) 式中，我们求 x，则把 \dfrac{x^2}{a^2} 一项的 a^2 翻上去作为分子。
- 在 (2) 式中，我们消 y，因此在括号里减去 y 的系数 b、B。
- 任何时候，A,B,C 单独出现时要平方，不能留一次。
- 在 (4) 式中，括号外的系数 B^2 来源于 y 的系数，而我们求的是 x，因此 B 算是“别人的材料”了。
类似的，如果我们消 x 保留 y，那么得到的四个式子应该是这样的：
(1')\ y_1+y_2=\dfrac{-2BCb^2}{a^2A^2+b^2B^2}
(2')\ y_1y_2=\dfrac{b^2(C^2-a^2A^2)}{a^2A^2+b^2B^2}
(3')\ (a^2A^2+b^2B^2)y^2+2BCb^2\cdot y + b^2(C^2-a^2A^2)=0
(4')\ \Delta=4a^2b^2A^2(a^2A^2+b^2B^2-C^2)
弦长三根号（三红包）公式
联立直线和椭圆的表达式，再代入弦长公式|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot \dfrac{\sqrt \Delta}{|a|} ，得到的弦长公式是
|AB|=\dfrac{\sqrt{A^2+B^2}\cdot\sqrt{4a^2b^2}\cdot\sqrt{a^2A^2+b^2B^2-C^2}}{a^2A^2+b^2B^2}.
三个根号可以理解为三个红包，分别是直线发的、椭圆发的、分母发的。
异性恋公式
类比染色体，我们分别以 x,y 代表♀、♂。联立直线和椭圆得
x_1y_2+x_2y_1=\dfrac{2ABa^2b^2}{a^2A^2+b^2B^2}.
如果直线是斜截式或横截式呢？
联立直线 y=kx+m 和椭圆 \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) 得
(1)\ x_1+x_2=-\dfrac{2km\cdot a^2}{k^2a^2+b^2}
(2)\ x_1x_2=\dfrac{a^2(m^2-b^2)}{k^2a^2+b^2}
(3)\ (k^2a^2+b^2)x^2+2kma^2\cdot x+(m^2a^2-a^2b^2)=0
联立直线 x=my+n 和椭圆 \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) 得
(1)\ x_1+x_2=\dfrac{2na^2}{m^2b^2+a^2}
(2)\ x_1x_2=\dfrac{a^2(n^2-m^2b^2)}{m^2b^2+a^2}
(3)\ (m^2b^2+a^2)x^2-2na^2x+a^2(n^2-m^2b^2)=0