UR #10 T3 列队 证明练习
Elegia
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个人记录
给出群 G，求证 \varphi: G \rightarrow S_n 的单同态数量 f(G) 为
f(G) = n![x^n]\exp \left(\sum_{H\le G} \frac{x^{[G:H]}}{[G:H]}\right) - \sum_{\mathrm{normal}\, N, {1} < N \le G} f(G/N)
我们仅考虑同态的数量，我们知道 \ker \varphi 是正规子群，单同态就是说 \ker \varphi = 1。
假设一个同态的核 N = \ker \varphi，我们知道 \varphi(aN) = \varphi(a)，因此自然而然的就是 G/N 到 S_n 的一个单同态，银从我们得到了
\sum_{\mathrm{normal}\, N, 1\le N\le G} f(G/N)
就是 G 到 S_n 的同态数量。我们要证明它等于 n![x^n]\exp \left(\sum_{H\le G} \frac{x^{[G:H]}}{[G:H]}\right)。我们考虑 \operatorname{im} \varphi 对于 [n] 作用所划分成的轨道。我们知道轨道与轨道之间是没有影响的。所以假设在 S_k 上是大小为 k 的轨道有 a_k 种同态，那么 n![x^n]\exp \sum_k a_k \frac{x^k}{k!} 就是 S_n 总共的同态数量。
现在我们讨论 a_k，对于 [k] 整体构成一个轨道，其稳定子 H\le G 是一个子群，我们知道 H 只能把 1 映到 1，而设 a_2H, a_3H,\dots, a_kH 陪集的全体 (k-1)! 个排列，现在我们假设 a_iH 将 1 映射到 i，为了知道 a_iH 将 j 映射到哪，考虑 \varphi(a_iH)\varphi(a_jH)1 = \varphi(a_iH)j = \varphi(a_ia_jH)1，由此我们知道任何一个排列得以确定一个同态，而任何一个同态又得以确定一个排列，因此稳定子为 H 的同态的数量就是 (k-1)! = ([G:H]-1)!。