ABC337 题解
APJifengc
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个人记录
中国男孩的第一场比赛！Atcoder Beginner Contest
唉希望我打 ARC 不会下分吧。
以下是题解：
- 求证 \sum_{i=1}^n \frac{1}{3^i - 2} < \frac{17}{14} (n \in \mathbb{N}^* )。
当 $n \ge 2$ 时，有：
$$
\begin{aligned}
3^n - 2 &\ge 3^n - 2^{n-1}\\
&= 3^n \left(1 - \frac{1}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^{n - 1}\right)\\
&\ge 3^n \left(1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}\right)\\
&= 7 \cdot 3^{n-2}
\end{aligned}
$$
于是有：
$$
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^n \frac{1}{3^i - 2} &= 1 + \sum_{i=2}^n \frac{1}{3^i - 2}\\
&\le 1 + \sum_{i=2}^n \frac{1}{7 \cdot 3^{i-2}}\\
&= 1 + \frac{1}{7} \sum_{i=0}^{n - 2} \frac{1}{3^i}\\
&= 1 + \frac{3}{14} \left(1-\frac{1}{3^{n-2}}\right)\\
&< \frac{17}{14}
\end{aligned}
$$
- 求 $S = \sum_{i=1}^{100} \frac{1}{\sqrt{i}}$ 的整数部分。
有不等式：
$$
\frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{n} + \sqrt{n}} < \frac{2}{\sqrt{n} + \sqrt{n - 1}} = 2(\sqrt{n} - \sqrt{n - 1})
$$
同理可得 $\frac{1}{\sqrt{n}} > 2(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})$，那么有：
$$
S < 1 + 2 \sum_{i=2}^{100} (\sqrt{n} - \sqrt{n - 1}) = 1 + 2(\sqrt{100} - \sqrt{1}) = 19
$$
$$
S > 2 \sum_{i=1}^{100} (\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}) = 2(\sqrt{101} - \sqrt{1}) > 18
$$
所以有 $18 < S < 19$，则 $S$ 的整数部分为 $18$。